SBT Toán 11 - giải SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 7 - SBT Toán 11 CTST

Giải bài 9 trang 45 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2


Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: a) \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\);

Đề bài

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\);

b) \(y = \sqrt {3x + 2} \);

c) \(y = x.{e^{2x}}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Sử dụng kiến thức về đạo hàm cấp hai của hàm số: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \left( {a;b} \right)\) thì ta có hàm số \(y' = f'\left( x \right)\) xác định trên \(\left( {a;b} \right)\). Nếu hàm số \(y' = f'\left( x \right)\) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của \(y'\) là đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại x và kí hiệu là \(y''\) hoặc \(f''\left( x \right)\).

+ Sử dụng một số quy tắc tính đạo hàm:

a) \({\left( {\frac{u}{v}} \right)'} = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\left( {v = v\left( x \right) \ne 0} \right)\),

b) \(\left( {\sqrt {u\left( x \right)} } \right)' = \frac{{u'\left( x \right)}}{{2\sqrt {u\left( x \right)} }}\)

c) \(\left( {uv} \right)' = u'v + uv',\left( {{e^{u\left( x \right)}}} \right)' = \left( {u\left( x \right)} \right)'{e^{u\left( x \right)}}\)

Lời giải chi tiết

a) \(y' \) \( = {\left( {\frac{{x - 1}}{{x + 2}}} \right)'} \) \( = \frac{{\left( {x - 1} \right)'\left( {x + 2} \right) - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)'}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \) \( = \frac{{x + 2 - x + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \) \( = \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

Do đó, \(y'' \) \( = \left( {\frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right)' \) \( = {\left[ {3{{\left( {x + 2} \right)}^{ - 2}}} \right]'} \) \( = \frac{{ - 6}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}}\)

b) \(y' \) \( = \left( {\sqrt {3x + 2} } \right)' \) \( = \frac{{\left( {3x + 2} \right)'}}{{2\sqrt {3x + 2} }} \) \( = \frac{3}{{2\sqrt {3x + 2} }}\)

Do đó, \(y'' \) \( = {\left( {\frac{3}{{2\sqrt {3x + 2} }}} \right)'} \) \( = - \frac{3}{2}.\frac{{\left( {3x + 2} \right)'}}{{2\sqrt {{{\left( {3x + 2} \right)}^3}} }} \) \( = - \frac{9}{{4\sqrt {{{\left( {3x + 2} \right)}^3}} }}\)

c) \(y' \) \( = \left( {x.{e^{2x}}} \right)' \) \( = x'{e^{2x}} + x.\left( {{e^{2x}}} \right)' \) \( = {e^{2x}} + 2x{e^{2x}}\)

Do đó, \(y'' \) \( = {\left( {{e^{2x}} + 2x{e^{2x}}} \right)'} \) \( = {\left( {{e^{2x}}} \right)'} + 2{\left( {x{e^{2x}}} \right)'} \) \( = 2{e^{2x}} + 2\left( {{e^{2x}} + 2x{e^{2x}}} \right)\)

\( \) \( = 4{e^{2x}} + 4x{e^{2x}} \) \( = 4\left( {x + 1} \right){e^{2x}}\)


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store