Giải bài 1 trang 50 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Tính góc giữa AB và DM.

Đề bài

Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Tính góc giữa AB và DM.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về góc giữa hai đường thẳng trong không gian để tính: Góc giữa hai đường thẳng a, b trong không gian, kí hiệu (a, b), là góc giữa hai đường thẳng \(a'\) và \(b'\) cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với a và b.

Góc giữa hai đường thẳng nhận giá trị từ \({0^0}\) đến \({90^0}\).

Lời giải chi tiết

Gọi độ dài cạnh của tứ diện đều ABCD là 2a nên \(MB = MC = \frac{{BC}}{2} = a\)

Gọi N là trung điểm của AC nên \(NA = NC = \frac{{AC}}{2} = a\)

Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN//AB

Do đó, \(\left( {AB,DM} \right) = \left( {MN,MD} \right) = \widehat {NMD}\)

Tam giác CBD đều nên MD là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

Do đó, \(MD \bot BC\). Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác MDC vuông tại M có: \(MD = \sqrt {C{D^2} - M{C^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \)

Tam giác ADC đều nên ND là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

Do đó, \(ND \bot AC\). Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác NDC vuông tại N có: \(ND = \sqrt {C{D^2} - N{C^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \)

Tam giác MND có: \(ND = MD\) nên tam giác MND cân tại D.

Gọi H là trung điểm của MN.

Suy ra DH là đường là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác MND.

Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC nên \(MN = \frac{{BA}}{2} = a \Rightarrow MH = \frac{{MN}}{2} = \frac{a}{2}\)

Tam giác MHD vuông tại H có: \(\cos \widehat {HMD} = \frac{{MH}}{{MD}} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{6} \Rightarrow \widehat {NMD} \approx 73,{2^0}\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 2 trang 51 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, \(SA = a\sqrt 3 ,SA \bot AC,\) \(SA \bot BC,\) \(\widehat {BAD} = {120^0}\).
Giải bài 3 trang 51 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho tứ diện ABCD có \(AB = CD,AC = BD,AD = BC\). a) Chứng minh đoạn nối các trung điểm của các cặp cạnh đối thì vuông góc hai cạnh đó.
Giải bài 4 trang 51 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M, N, I, J lần lượt là trung điểm của SA, SD, SC và BC. Tính các góc giữa các đường thẳng sau:
Giải bài 5 trang 51 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Chứng minh rằng hai đường thẳng OA và CD vuông góc với nhau.