Giải bài 7.16 trang 31 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống


Cho hình hộp \(ABCD \cdot A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh a và \(AA' = a\sqrt 2 \)

Đã có lời giải SGK Toán lớp 12 - Kết nối tri thức (mới)

Đầy đủ - Chi tiết - Chính xác

Đề bài

Cho hình hộp \(ABCD \cdot A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh a và \(AA' = a\sqrt 2 \), hình chiếu vuông góc của \(A\) trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) trùng với trung điểm của \(B'D'\). Tính góc giữa đường thẳng \(AA'\) và mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Gọi \(O\) là giao điểm của \(A'C'\) và \(B'D'\)

Xác định hình chiếu vuông góc của \(AA'\) trên mặt phẳng \(\left( {A'B'CD'} \right)\)

Tính góc giữa đường thẳng \(AA'\) và hình chiếu của nó rồi kết luận

Áp dụng tỉ số lượng giác cho tam giác vuông để tính góc

Lời giải chi tiết

Gọi \(O\) là giao điểm của \(A'C'\) và \(B'D'\).

Ta có: \(A'O\) là hình chiếu vuông góc của \(AA'\) trên mặt phẳng \(\left( {A'B'CD'} \right)\), góc giữa đường thẳng \(AA'\) và mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) bằng góc giữa \(AA'\) và \(A'O\).

Mà \(\left( {AA',A'O} \right) = \widehat {AA'O}\), ta lại có \(A'O = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Do đó \({\rm{cos}}\widehat {AA'O} = \frac{{OA'}}{{AA'}} = \frac{1}{2}\),

 

Suy ra \(\widehat {AA'O} = {60^ \circ }\).

Vậy góc giữa đường thẳng \(AA'\) và mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) bằng \({60^ \circ }\).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Kết nối tri thức - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.