Đường phân giác của tam giác có tính chất gì? Đường phân giác ngoài của tam giác có tính chất gì? - Toán 8

Đường phân giác của một tam giác là đoạn thẳng nối từ một đỉnh của tam giác đến cạnh đối diện, chia góc tại đỉnh đó thành hai góc bằng nhau.

Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

Ví dụ: Cho \(\Delta ABC\) có AD là đường phân giác (\(D \in BC\)). Biết AB = 4 cm, AC = 6 cm, BC = 8 cm. Tính độ dài BD, DC.

Xét \(\Delta ABC\) có AD là đường phân giác nên \(\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}}\) hay \(\frac{{DB}}{4} = \frac{{DC}}{6}\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{DB}}{4} = \frac{{DC}}{6} = \frac{{DB + DC}}{{4 + 6}} = \frac{{BC}}{{10}} = \frac{8}{{10}} = \frac{4}{5}\)

Suy ra \(\frac{{DB}}{4} = \frac{4}{5}\) nên \(DB = \frac{{4.4}}{5} = 3,2\left( {cm} \right)\)

           \(\frac{{DC}}{6} = \frac{4}{5}\) nên \(DC = \frac{{4.6}}{5} = 4,8\left( {cm} \right)\)

Góc ngoài của tam giác là góc kề bù với một góc trong của tam giác. Mỗi góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó

Ví dụ: Cho \(\Delta ABC\).

\(\widehat {xAC}\) được gọi là góc ngoài của \(\Delta ABC\) vì \(\widehat {xAC} + \widehat {CAB} = 180^\circ \).

Ta có: \(\widehat {xAC} = \widehat {ABC} + \widehat {BCA}\).

Trong tam giác, đường phân giác ngoài của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

Ví dụ:

\(\widehat {xAC}\) là góc ngoài của \(\Delta ABC\) và AE là tia phân giác của \(\widehat {CAE}\).

Do đó AE là phân giác ngoài của tam giác ABC, do đó:

\(\frac{{EC}}{{AC}} = \frac{{EB}}{{AB}}\) hay \(\frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).

Ta có AD là phân giác trong của tam giác ABC, do đó:

\(\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}}\) hay \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).

Do đó ta có tỉ lệ: \(\frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).