-
Đề kiểm tra 15 phút
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương I - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương II - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương III - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương IV – Giải tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương I - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương II - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương III - Hình học 12
-
-
Đề kiểm tra 1 tiết
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương I - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương II - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương III - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương IV - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương I - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương II - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương III - Hình học 12
-
-
Đề thi giữa học kì 1
-
Đề thi học kì 1
-
Đề thi giữa học kì 2
-
Đề thi học kì 2
-
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN
Đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 5
Đề bài
Với $0 < a < b,m \in {N^*}$ thì:
-
A.
${a^m} < {b^m}$
-
B.
${a^m} > {b^m}$
-
C.
$1 < {a^m} < {b^m}$
-
D.
${a^m} > {b^m} > 1$
Đồ thị hàm số bậc ba có mấy tâm đối xứng?
-
A.
$1$
-
B.
$0$
-
C.
$2$
-
D.
B và C đều đúng
Khối đa diện đều có $20$ mặt thì có bao nhiêu cạnh?
-
A.
$24$
-
B.
$12$
-
C.
$30$
-
D.
$60$
Tính giá trị của biểu thức \(P = {\left( {2\sqrt 6 - 5} \right)^{2020}}{\left( {2\sqrt 6 + 5} \right)^{2021}}\).
-
A.
\(P = 2\sqrt 6 - 5\).
-
B.
\(P = {\left( {2\sqrt 6 - 5} \right)^{2020}}\).
-
C.
\(P = {\left( {2\sqrt 6 + 5} \right)^{2020}}\).
-
D.
\(P = 2\sqrt 6 + 5\).
Nếu một khối chóp có thể tích bằng \({a^3}\) và diện tích mặt đáy bằng \({a^2}\) thì chiều cao của khối chóp bằng:
-
A.
\(2a\)
-
B.
\(3a\)
-
C.
\(\dfrac{a}{3}\)
-
D.
\(a\)
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $D$ và ${x_1},{x_2} \in D$ mà ${x_1} > {x_2}$, khi đó:
-
A.
$f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$
-
B.
$f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$
-
C.
$f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right)$
-
D.
$f\left( {{x_2}} \right) \ge f\left( {{x_1}} \right)$
Tìm tập xác định \({\rm{D}}\) của hàm số $y = \sqrt {1 - {3^{{x^2} - 5x + 6}}} .$
-
A.
${\rm{D}} = \left[ {2;3} \right]$.
-
B.
${\rm{D}} = \left( { - \infty ;2} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right).$
-
C.
${\rm{D}} = \left[ {1;6} \right]$.
-
D.
${\rm{D}} = \left( {2;3} \right)$.
Hàm số nào có thể có đồ thị dạng như hình vẽ?
-
A.
Hàm số đa thức bậc ba.
-
B.
Hàm số đa thức bậc hai.
-
C.
Hàm số đa thức bậc bốn trùng phương.
-
D.
Cả B và C đều đúng.
Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
${2^{{{\log }_2}3}} = {5^{{{\log }_3}5}}$
-
B.
${2^{{{\log }_2}3}} = {5^{{{\log }_5}3}}$
-
C.
${5^{{{\log }_5}3}} = {\log _2}3$
-
D.
${2^{{{\log }_2}4}} = 2$
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
-
A.
Giá trị cực tiểu của hàm số là $y = 2$
-
B.
Giá trị cực đại của hàm số là $y = 2$.
-
C.
Giá trị cực tiểu của hàm số là $y = - \infty $
-
D.
Hàm số không có cực trị.
Phép vị tự tỉ số \(k > 0\) biến khối chóp có thể tích \(V\) thành khối chóp có thể tích \(V'\). Khi đó:
-
A.
\(\dfrac{V}{{V'}} = k\)
-
B.
\(\dfrac{{V'}}{V} = {k^2}\)
-
C.
\(\dfrac{V}{{V'}} = {k^3}\)
-
D.
\(\dfrac{{V'}}{V} = {k^3}\)
Mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất:
-
A.
Năm mặt
-
B.
Hai mặt
-
C.
Ba mặt
-
D.
Bốn mặt
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Chọn kết luận đúng:
-
A.
Hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ;0} \right)$
-
B.
Hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ;0} \right)$
-
C.
Hàm số đồng biến trên $R$.
-
D.
Hàm số nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.
Với \(a\) và \(b\) là hai số thực dương tùy ý, \(\log \left( {a{b^2}} \right)\) bằng
-
A.
\(2\log a + \log b\)
-
B.
$\log a + 2\log b$
-
C.
$2\left( {\log a + \log b} \right)$
-
D.
$\log a + \dfrac{1}{2}\log b$
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
$\mathop{\max}\limits_{x\in\mathbb{R}}f\left(x\right)=3$
-
B.
Hàm số đồng biến trên khoảng$\left( { - \infty ;3} \right)$
-
C.
Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 2
-
D.
$\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = - 1$
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) với \(ad - bc \ne 0\) là:
-
A.
\(x = - \dfrac{d}{c}\)
-
B.
\(y = - \dfrac{d}{c}\)
-
C.
\(y = \dfrac{a}{c}\)
-
D.
\(x = \dfrac{a}{c}\)
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào?
-
A.
$y = - {x^3} + x + 2$
-
B.
$y = {x^3} - 3{x^2} + 2$
-
C.
$y = {x^4} - {x^2} + 1$
-
D.
$y = {x^3} - 3x + 2$
Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
Nếu hai hình \(H\) và \(H'\) bằng nhau thì có một phép tịnh tiến biến hình này thành hình kia.
-
B.
Nếu có một phép tịnh tiến biến hình \(H'\) thành \(H\) thì chúng bằng nhau.
-
C.
Nếu hai hình \(H\) và \(H'\) bằng nhau thì có một phép đồng nhất biến hình này thành hình kia.
-
D.
Nếu hai hình \(H\) và \(H'\) bằng nhau thì chúng trùng nhau.
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng:
-
A.
Hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ;2} \right)$
-
B.
Hàm số nghịch biến trên $\left( { - 2;0} \right)$
-
C.
$f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in R$
-
D.
Hàm số đồng biến trên $\left( {0;3} \right)$
Hàm số \(y = {\log _a}x\) và \(y = {\log _b}x\) có đồ thị như hình vẽ bên:
Đường thẳng \(y = 3\) cắt hai đồ thị tại các điểm có hoành độ \({x_1},\,\,{x_2}.\) Biết rằng \({x_2} = 2{x_1},\) giá trị của \(\dfrac{a}{b}\) bằng:
-
A.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
B.
\(\sqrt 3 \)
-
C.
\(2\)
-
D.
\(\sqrt[3]{2}\)
Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 3\) là:
-
A.
$0$
-
B.
$2$
-
C.
$1$
-
D.
$3$
Công thức nào sau đây là công thức tăng trưởng mũ?
-
A.
\(T = A.{e^{Nr}}\)
-
B.
\(T = N.{e^{Ar}}\)
-
C.
\(T = r.{e^{NA}}\)
-
D.
\(T = A.{e^{N - r}}\)
Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy là tứ giác đều cạnh $a$, biết rằng \(BD' = a\sqrt 6 \) . Tính thể tích của khối lăng trụ?
-
A.
\({a^3}\sqrt 2 \)
-
B.
\({a^3}\sqrt 3 \)
-
C.
\(3{a^3}\)
-
D.
\(2{a^3}\)
Cho $a > 0;a \ne 1,b > 0$, khi đó nếu ${\log _a}b = N$ thì:
-
A.
${a^b} = N$
-
B.
${\log _a}N = b$
-
C.
${a^N} = b$
-
D.
${b^N} = a$
Tính giá trị \({\left( {\dfrac{1}{{16}}} \right)^{ - 0,75}} + {\left( {\dfrac{1}{8}} \right)^{ - \frac{4}{3}}},\)ta được kết quả là:
-
A.
24
-
B.
12
-
C.
16
-
D.
18
Biết đồ thị các hàm số $y = {x^3} + \dfrac{5}{4}x - 2$ và $y = {x^2} + x - 2$ tiếp xúc nhau tại điểm $M({x_0}\,;\,{y_0})$. Tìm ${x_0}.$
-
A.
${x_0} = \dfrac{3}{2}$.
-
B.
${x_0} = \dfrac{1}{2}$.
-
C.
${x_0} = - \dfrac{5}{2}.$
-
D.
${x_0} = \dfrac{3}{4}.$
Đẳng thức \(\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = ({x^{\frac{1}{n}}})' = \dfrac{1}{n}{x^{ - \frac{{n - 1}}{n}}} = \dfrac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}\) xảy ra khi:
-
A.
\(x < 0\)
-
B.
\(x > 0\)
-
C.
\(x \ge 0\)
-
D.
\(x \in R\)
Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + b}}{{cx - 1}}\) có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
A.
\(c < 0{\rm{ }};{\rm{ }}b < 0\)
-
B.
\(c > 0\) , \(b < 0\)
-
C.
\(c < 0\) , \(b > 0\)
-
D.
\(c > 0;{\rm{ }}b > 0\)
Cho hàm số \(y = \dfrac{{2018}}{{x - 2}}\) có đồ thị \(\left( H \right).\) Số đường tiệm cận của \(\left( H \right)\) là:
-
A.
\(2.\)
-
B.
\(0.\)
-
C.
\(3.\)
-
D.
\(1.\)
Hai hình tứ diện có các cạnh tương ứng bằng nhau thì chúng:
-
A.
bằng nhau
-
B.
trùng nhau
-
C.
có các đỉnh trùng nhau
-
D.
có đáy trùng nhau
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\left( {a;b} \right)$. Nếu $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ âm sang dương qua điểm ${x_0}$ thuộc \((a;b)\) thì
-
A.
${x_0}$ là điểm cực đại của hàm số.
-
B.
${x_0}$ là điểm cực tiểu của hàm số
-
C.
${x_0}$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
-
D.
${x_0}$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Hàm số $y = - {x^4} - 2{x^2} + 3$ nghịch biến trên:
-
A.
$\left( { - \infty ;0} \right)$
-
B.
$\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {0;1} \right)$
-
C.
$R$
-
D.
$\left( {0; + \infty } \right)$
Đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3x + 2$ có $2$ điểm cực trị $A,\;B.$ Diện tích tam giác $OAB\;$ với $O(0;0)$ là gốc tọa độ bằng:
-
A.
\(2\)
-
B.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\(3\)
Đồ thị hàm số $y = {x^3} - \left( {3m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} + 3m + 2} \right)x + 3$ có điểm cực tiểu và điểm cực đại nằm về hai phía của trục tung khi:
-
A.
$1 < m < 2$
-
B.
$ - 2 < m < - 1$
-
C.
$2 < m < 3$
-
D.
$ - 3 < m < - 2$
Đồ thị hàm số \(y = \sqrt {4{x^2} + 4x + 3} - \sqrt {4{x^2} + 1} \) có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?
-
A.
\(2\)
-
B.
\(0\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\(3\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có bảng biến thiên sau:
Đồ thị nào trong các phương án A, B, C, D thể hiện hàm số \(y = f\left( x \right)\)?
-
A.
-
B.
-
C.
-
D.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = - 2{x^3} + 4x + 2$ tại điểm có hoành độ bằng $0.$
-
A.
$y = 4x.$
-
B.
$y = 4x + 2.$
-
C.
$y = 2x.$
-
D.
$y = 2x + 2.$
Rút gọn biểu thức $B = \dfrac{{{a^{2\sqrt 2 }} - {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1$ ta được kết quả là:
-
A.
$\dfrac{{{a^{\sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}$
-
B.
$\dfrac{{{a^{2\sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}$
-
C.
$\dfrac{{2{a^{\sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}$
-
D.
$0$
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {{x^{1 + \dfrac{1}{{2{{\log }_4}x}}}} + {8^{\dfrac{1}{{3{{\log }_{{x^2}}}2}}}} + 1} \right)^{\dfrac{1}{2}}} - 1\) với \(0 < x \ne 1\). Tính giá trị biểu thức \(P = f\left( {f\left( {2018} \right)} \right)\).
-
A.
\(P = 2016\)
-
B.
\(P = 1009\)
-
C.
\(P = 2018\)
-
D.
\(P = {2018^2}\)
Biết \({\log _{15}}20 = a + \dfrac{{2{{\log }_3}2 + b}}{{{{\log }_3}5 + c}}\) với \(a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{Z}\). Tính \(T = a + b + c\).
-
A.
\(T = - 3\)
-
B.
\(T = 3\)
-
C.
\(T = - 1\)
-
D.
\(T = 1\)
Cho \(\ln x = 2\). Tính giá trị của biểu thức \(T = 2\ln \sqrt {ex} - \ln \dfrac{{{e^2}}}{{\sqrt x }} + \ln 3.{\log _3}e{x^2}\) ?
-
A.
\(T = 7\)
-
B.
\(T = 12\)
-
C.
\(T = 13\)
-
D.
\(T = 21\)
Cho bốn hình sau đây. Mệnh đề nào sau đây sai:
-
A.
Khối đa diện A là khối chóp tứ giác.
-
B.
Cả 4 khối đa diện A, B, C, D đều là khối đa diện lồi.
-
C.
Khối đa diện C là khối đa diện lồi
-
D.
Khối đa diện B là khối đa diện lồi
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\). Mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Đường thẳng \(SC\) tạo với đáy góc \({45^0}\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AD\). Thể tích của khối chóp \(S.MCDN\) là:
-
A.
\(\dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)
-
B.
\(\dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)
-
C.
\(\dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{8}\)
-
D.
\(\dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}\)
Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) với $ABC$ là tam giác vuông cân tại $C$ có \(AB = a\) , mặt bên \(ABB'A'\) là hình vuông. Mặt phẳng qua trung điểm $I$ của $AB$ và vuông góc với \(AB'\) chia khối lăng trụ thành 2 phần. Tính thể tích mỗi phần?
-
A.
\({V_1} = \dfrac{{{a^3}}}{{48}},{V_2} = \dfrac{{11{a^3}}}{{24}}\)
-
B.
\({V_1} = \dfrac{{{a^3}}}{{24}},{V_2} = \dfrac{{11{a^3}}}{{48}}\)
-
C.
\({V_1} = \dfrac{{{a^3}}}{{48}},{V_2} = \dfrac{{11{a^3}}}{{48}}\)
-
D.
\({V_1} = \dfrac{{{a^3}}}{{24}},{V_2} = \dfrac{{5{a^3}}}{{24}}\)
Một người lần đầu gửi vào ngân hàng $100$ triệu đồng với kì hạn $3$ tháng, lãi suất $2\% $ một quý theo hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm $100$ triệu đồng với kì hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được sau 1 năm gửi thêm tiền gần nhất với kết quả nào sau đây?
-
A.
$210$ triệu
-
B.
$220$ triệu
-
C.
$212$ triệu
-
D.
$216$ triệu
Cho các số thực $x, y$ thỏa mãn ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + 2xy \leqslant 32.$ Giá trị nhỏ nhất $m$ của biểu thức $A = {x^3} + {y^3} + 3\left( {xy - 1} \right)\left( {x + y - 2} \right)$ là:
-
A.
$m = 16$
-
B.
$m = 0$
-
C.
$m = \dfrac{{17 - 5\sqrt 5 }}{4}$
-
D.
$m = 398$
Có bao nhiêu bộ ba số thực \(\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{3^{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{{.9}^{\sqrt[3]{{{y^2}}}}}{{.27}^{\sqrt[3]{{{z^2}}}}} = {3^6}}\\
{x.{y^2}.{z^3} = 1}
\end{array}\)
-
A.
4
-
B.
3
-
C.
2
-
D.
1
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;\dfrac{{5\pi }}{2}} \right]\) của phương trình \(f\left( {\sin \,x} \right) = 1\) là:
-
A.
\(7.\)
-
B.
\(4.\)
-
C.
\(5.\)
-
D.
\(6.\)
Cho $(C)$ là đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$. Tìm các điểm trên $(C)$ sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất:
-
A.
$\left( 1;1 \right)$
-
B.
$\left( {2 + \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 } \right)$ và $\left( {2 - \sqrt 3 ;1 - \sqrt 3 } \right)$
-
C.
$\left( {1 - \sqrt 3 ;1 - \sqrt 3 } \right)$
-
D.
$\left( {1 + \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 } \right)$
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(G\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \). Mặt phẳng thay đổi chứa \(BG\) và cắt \(AC,\,\,AD\) lần lượt tại \(M\) và \(N\). Giá trị nhỏ nhất của tỉ số \(\dfrac{{{V_{ABMN}}}}{{{V_{ABCD}}}}\) là
-
A.
\(\dfrac{3}{8}\)
-
B.
\(\dfrac{4}{9}\)
-
C.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
D.
\(\dfrac{5}{9}\)
Lời giải và đáp án
Với $0 < a < b,m \in {N^*}$ thì:
-
A.
${a^m} < {b^m}$
-
B.
${a^m} > {b^m}$
-
C.
$1 < {a^m} < {b^m}$
-
D.
${a^m} > {b^m} > 1$
Đáp án : A
Sử dụng hệ quả so sánh lũy thừa:
Với $0 < a < b$ và $m$ nguyên dương thì ${a^m} < {b^m}$.
Với $0 < a < b,m \in {N^*}$ thì ${a^m} < {b^m}$.
Đồ thị hàm số bậc ba có mấy tâm đối xứng?
-
A.
$1$
-
B.
$0$
-
C.
$2$
-
D.
B và C đều đúng
Đáp án : A
Đồ thị hàm số bậc ba có tâm đối xứng chính là điểm uốn của đồ thị hàm số.
Phương trình $y'' = 0$ luôn có nghiệm duy nhất nên đồ thị hàm số bậc ba luôn có 1 điểm uốn hay 1 tâm đối xứng duy nhất.
Khối đa diện đều có $20$ mặt thì có bao nhiêu cạnh?
-
A.
$24$
-
B.
$12$
-
C.
$30$
-
D.
$60$
Đáp án : C
Khối đa diện $20$ mặt đều thuộc loại \(\left\{ {3;5} \right\}\) nên mỗi mặt có $3$ cạnh
Mỗi cạnh là cạnh chung của $2$ mặt nên tổng số cạnh của đa diện là $20.3:2 = 30$ (cạnh)
Tính giá trị của biểu thức \(P = {\left( {2\sqrt 6 - 5} \right)^{2020}}{\left( {2\sqrt 6 + 5} \right)^{2021}}\).
-
A.
\(P = 2\sqrt 6 - 5\).
-
B.
\(P = {\left( {2\sqrt 6 - 5} \right)^{2020}}\).
-
C.
\(P = {\left( {2\sqrt 6 + 5} \right)^{2020}}\).
-
D.
\(P = 2\sqrt 6 + 5\).
Đáp án : D
- Áp dụng công thức \({a^m}.{b^m} = {\left( {ab} \right)^m}.\)
- Sử dụng hằng đẳng thức \(\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = {a^2} - {b^2}\).
\(\begin{array}{l}P = {\left( {2\sqrt 6 - 5} \right)^{2020}}{\left( {2\sqrt 6 + 5} \right)^{2021}}\\\,\,\,\,\, = {\left[ {\left( {2\sqrt 6 - 5} \right)\left( {2\sqrt 6 + 5} \right)} \right]^{2020}}.\left( {2\sqrt 6 + 5} \right)\\\,\,\,\, = {\left( {24 - 25} \right)^{2020}}.\left( {2\sqrt 6 + 5} \right) = 2\sqrt 6 + 5\end{array}\)
Nếu một khối chóp có thể tích bằng \({a^3}\) và diện tích mặt đáy bằng \({a^2}\) thì chiều cao của khối chóp bằng:
-
A.
\(2a\)
-
B.
\(3a\)
-
C.
\(\dfrac{a}{3}\)
-
D.
\(a\)
Đáp án : B
Khối chóp có thể tích \(V\) và diện tích đáy \(S\) thì có chiều cao là \(h = \dfrac{{3V}}{S}.\)
Chiều cao của khối chóp đã cho là: \(h = \dfrac{{3V}}{S} = \dfrac{{3{a^3}}}{{{a^2}}} = 3a.\)
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $D$ và ${x_1},{x_2} \in D$ mà ${x_1} > {x_2}$, khi đó:
-
A.
$f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$
-
B.
$f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$
-
C.
$f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right)$
-
D.
$f\left( {{x_2}} \right) \ge f\left( {{x_1}} \right)$
Đáp án : A
Sử dụng định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
Hàm số $y$ = $f\left( x \right)$ đồng biến trên $D$ nên:
Với mọi ${x_1},{x_2}$ $\in$ $D$ mà ${x_1} > {x_2}$ thì $f\left( {{x_1}} \right)$ > $f\left( {{x_2}} \right)$.
Tìm tập xác định \({\rm{D}}\) của hàm số $y = \sqrt {1 - {3^{{x^2} - 5x + 6}}} .$
-
A.
${\rm{D}} = \left[ {2;3} \right]$.
-
B.
${\rm{D}} = \left( { - \infty ;2} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right).$
-
C.
${\rm{D}} = \left[ {1;6} \right]$.
-
D.
${\rm{D}} = \left( {2;3} \right)$.
Đáp án : A
Hàm số \(y = \sqrt {f\left( x \right)} \) xác định nếu \(f\left( x \right)\) xác định và \(f\left( x \right) \ge 0\).
Hàm số xác định $ \Leftrightarrow 1 - {3^{{x^2} - 5x + 6}} \ge 0 \Leftrightarrow {3^{{x^2} - 5x + 6}} \le 1$
$ \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 \le 0 \Leftrightarrow 2 \le x \le 3$.
Vậy tập xác định của hàm số là $D=[2;3]$.
Hàm số nào có thể có đồ thị dạng như hình vẽ?
-
A.
Hàm số đa thức bậc ba.
-
B.
Hàm số đa thức bậc hai.
-
C.
Hàm số đa thức bậc bốn trùng phương.
-
D.
Cả B và C đều đúng.
Đáp án : D
Quan sát dạng đồ thị và đối chiếu với các đáp án bài cho.
Dạng đồ thị đã cho có thể là của hàm số bậc hai hoặc hàm bậc bốn trùng phương.
Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
${2^{{{\log }_2}3}} = {5^{{{\log }_3}5}}$
-
B.
${2^{{{\log }_2}3}} = {5^{{{\log }_5}3}}$
-
C.
${5^{{{\log }_5}3}} = {\log _2}3$
-
D.
${2^{{{\log }_2}4}} = 2$
Đáp án : B
Sử dụng công thức ${a^{{{\log }_a}b}} = b$ với $0<a \ne 1, b>0$.
Ta có: ${2^{{{\log }_2}3}} = 3 = {5^{{{\log }_5}3}}$ nên B đúng.
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
-
A.
Giá trị cực tiểu của hàm số là $y = 2$
-
B.
Giá trị cực đại của hàm số là $y = 2$.
-
C.
Giá trị cực tiểu của hàm số là $y = - \infty $
-
D.
Hàm số không có cực trị.
Đáp án : D
Quan sát bảng biến thiên và nhận xét dấu của đạo hàm.
Từ bảng biến thiên ta thấy, đạo hàm không đổi dấu trên $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$ nên hàm số không có cực trị.
Phép vị tự tỉ số \(k > 0\) biến khối chóp có thể tích \(V\) thành khối chóp có thể tích \(V'\). Khi đó:
-
A.
\(\dfrac{V}{{V'}} = k\)
-
B.
\(\dfrac{{V'}}{V} = {k^2}\)
-
C.
\(\dfrac{V}{{V'}} = {k^3}\)
-
D.
\(\dfrac{{V'}}{V} = {k^3}\)
Đáp án : D
Phép vị tự tỉ số \(k > 0\) biến khối chóp có thể tích \(V\) thành khối chóp có thể tích \(V'\). Khi đó \(\dfrac{{V'}}{V} = {k^3}\).
Mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất:
-
A.
Năm mặt
-
B.
Hai mặt
-
C.
Ba mặt
-
D.
Bốn mặt
Đáp án : C
Sử dụng phương pháp chọn điểm rơi, lấy ví dụ cho hình tứ diện và suy ra đáp án.
Mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 mặt (ví dụ các đỉnh của hình tứ diện)
Không tồn tại 1 đỉnh nào đó của đa diện nào đó là đỉnh chung của ít hơn 3 mặt
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Chọn kết luận đúng:
-
A.
Hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ;0} \right)$
-
B.
Hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ;0} \right)$
-
C.
Hàm số đồng biến trên $R$.
-
D.
Hàm số nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.
Đáp án : B
Quan sát bảng biến thiên và tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Hàm số đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên $\left( { - \infty ;0} \right)$.
Với \(a\) và \(b\) là hai số thực dương tùy ý, \(\log \left( {a{b^2}} \right)\) bằng
-
A.
\(2\log a + \log b\)
-
B.
$\log a + 2\log b$
-
C.
$2\left( {\log a + \log b} \right)$
-
D.
$\log a + \dfrac{1}{2}\log b$
Đáp án : B
Sử dụng các công thức biến đổi logarit: \(\log \left( {xy} \right) = \log x + \log y;\;\;\log {x^n} = n\log x\) với \(x;y\) là các số thực dương.
Ta có: \(\log \left( {a{b^2}} \right) = \log a + \log {b^2} = \log a + 2\log b\)
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
$\mathop{\max}\limits_{x\in\mathbb{R}}f\left(x\right)=3$
-
B.
Hàm số đồng biến trên khoảng$\left( { - \infty ;3} \right)$
-
C.
Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 2
-
D.
$\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = - 1$
Đáp án : D
Quan sát đồ thị hàm số và rút ra các nhận xét về cực đại, cực tiểu, GTLN, GTNN, khoảng đồng biến, nghịch biến.
A sai vì $y=3$ là giá trị cực đại của hàm số, không phải giá trị lớn nhất.
B sai vì hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right),\left( {2; + \infty } \right)$.
C sai vì $x=2$ là điểm cực tiểu của hàm số không phải giá trị cực tiểu.
D đúng vì trên đoạn $\left[ {0;4} \right]$ thì hàm số đạt GTNN (cũng là giá trị cực tiểu) bằng $ - 1$ đạt được tại $x = 2$.
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) với \(ad - bc \ne 0\) là:
-
A.
\(x = - \dfrac{d}{c}\)
-
B.
\(y = - \dfrac{d}{c}\)
-
C.
\(y = \dfrac{a}{c}\)
-
D.
\(x = \dfrac{a}{c}\)
Đáp án : A
Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( {ad - bc \ne 0} \right)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - \dfrac{d}{c}\).
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào?
-
A.
$y = - {x^3} + x + 2$
-
B.
$y = {x^3} - 3{x^2} + 2$
-
C.
$y = {x^4} - {x^2} + 1$
-
D.
$y = {x^3} - 3x + 2$
Đáp án : B
Quan sát đồ thị hàm số, nhận dạng đồ thị suy ra hệ số $a$, tìm điểm đi qua và đối chiếu đáp án.
Nhận xét: Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số bậc 3 có hệ số $a > 0$ nên loại đáp án A, C
Xét 2 đáp án B và D
Thay $x = 0;\,y = 2$ thì cả 2 đáp án B, D đều thỏa mãn
Thay $x = 2;\,y = - 2$ chỉ có đáp án B thỏa mãn
Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
Nếu hai hình \(H\) và \(H'\) bằng nhau thì có một phép tịnh tiến biến hình này thành hình kia.
-
B.
Nếu có một phép tịnh tiến biến hình \(H'\) thành \(H\) thì chúng bằng nhau.
-
C.
Nếu hai hình \(H\) và \(H'\) bằng nhau thì có một phép đồng nhất biến hình này thành hình kia.
-
D.
Nếu hai hình \(H\) và \(H'\) bằng nhau thì chúng trùng nhau.
Đáp án : B
- Nếu có một phép dời hình biến hình \(H'\) thành \(H\) thì hai hình bằng nhau và phép tịnh tiến cũng là một phép dời hình nên B đúng.
- Các đáp án A, C, D đều sai vì hai hình bằng nhau có thể là hợp thành của một số phép dời hình chứ không nhất thiết là chỉ một phép dời hình.
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng:
-
A.
Hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ;2} \right)$
-
B.
Hàm số nghịch biến trên $\left( { - 2;0} \right)$
-
C.
$f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in R$
-
D.
Hàm số đồng biến trên $\left( {0;3} \right)$
Đáp án : C
Quan sát bảng biến thiên và nhận xét các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số và rút ra kết luận.
Định lý: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và có đạo hàm trên $K$.
a) Nếu $f'\left( x \right) > 0,\forall x \in K$ thì hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $K$.
b) Nếu $f'\left( x \right) < 0,\forall x \in K$ thì hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $K$.
A, B sai vì hàm số chỉ nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( {0;2} \right)$
D sai vì hàm số chỉ đồng biến trên khoảng $\left( { - 2;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$
C đúng vì giá trị thấp nhất của y trên bảng biến thiên là 0.
Hàm số \(y = {\log _a}x\) và \(y = {\log _b}x\) có đồ thị như hình vẽ bên:
Đường thẳng \(y = 3\) cắt hai đồ thị tại các điểm có hoành độ \({x_1},\,\,{x_2}.\) Biết rằng \({x_2} = 2{x_1},\) giá trị của \(\dfrac{a}{b}\) bằng:
-
A.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
B.
\(\sqrt 3 \)
-
C.
\(2\)
-
D.
\(\sqrt[3]{2}\)
Đáp án : D
Dựa vào đồ thị hàm số, xác định các giá trị của \({x_1},\,{x_2}\) theo \(a\) và \(b.\) Từ đó tính giá trị của \(\dfrac{a}{b}.\)
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \({x_1}\) là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm \({\log _b}{x_1} = 3 \Leftrightarrow {x_1} = {b^3}.\)
Và \({x_2}\) là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm \({\log _a}{x_2} = 3 \Leftrightarrow {x_2} = {a^3}.\)
Theo đề bài ta có: \({x_2} = 2{x_1} \Rightarrow {a^3} = 2{b^3} \Leftrightarrow \dfrac{{{a^3}}}{{{b^3}}} = 2 \Leftrightarrow \dfrac{a}{b} = \sqrt[3]{2}.\)
Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 3\) là:
-
A.
$0$
-
B.
$2$
-
C.
$1$
-
D.
$3$
Đáp án : D
Xác định số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 3\).
Đồ thị hàm số cắt đường thẳng \(y = 3\) tại 3 điểm phân biệt\( \Rightarrow f\left( x \right) = 3\) có 3 nghiệm phân biệt.
Công thức nào sau đây là công thức tăng trưởng mũ?
-
A.
\(T = A.{e^{Nr}}\)
-
B.
\(T = N.{e^{Ar}}\)
-
C.
\(T = r.{e^{NA}}\)
-
D.
\(T = A.{e^{N - r}}\)
Đáp án : A
Công thức lãi kép (hoặc công thức tăng trưởng mũ):
\(T = A.{e^{Nr}}\), ở đó \(A\) là số tiền gửi ban đầu, \(r\) là lãi suất, \(N\) là số kì hạn.
Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy là tứ giác đều cạnh $a$, biết rằng \(BD' = a\sqrt 6 \) . Tính thể tích của khối lăng trụ?
-
A.
\({a^3}\sqrt 2 \)
-
B.
\({a^3}\sqrt 3 \)
-
C.
\(3{a^3}\)
-
D.
\(2{a^3}\)
Đáp án : D
- Tính diện tích đáy \({S_{A'B'C'D'}}\) và độ dài đường cao \(BB'\).
- Tính thể tích khối lăng trụ theo công thức \(V = Sh\).
Vì $A'B'C'D'$ là hình vuông cạnh $a$ nên \(B'D' = a\sqrt 2 \)
\(BB' \bot \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow BB' \bot B'D' \Rightarrow \Delta BB'D'\) vuông tại \(B' \Rightarrow BB' = \sqrt {BD{'^2} - B'D{'^2}} = \sqrt {6{a^2} - 2{a^2}} = 2a\)
Vậy \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = BB'.{S_{ABCD}} = 2a.{a^2} = 2{a^3}\)
Cho $a > 0;a \ne 1,b > 0$, khi đó nếu ${\log _a}b = N$ thì:
-
A.
${a^b} = N$
-
B.
${\log _a}N = b$
-
C.
${a^N} = b$
-
D.
${b^N} = a$
Đáp án : C
Cho $a > 0;a \ne 1,b > 0$, khi đó nếu ${\log _a}b = N$ thì ${a^N} = b$.
Tính giá trị \({\left( {\dfrac{1}{{16}}} \right)^{ - 0,75}} + {\left( {\dfrac{1}{8}} \right)^{ - \frac{4}{3}}},\)ta được kết quả là:
-
A.
24
-
B.
12
-
C.
16
-
D.
18
Đáp án : A
Sử dụng công thức \(\dfrac{1}{{{x^m}}} = {x^{ - m}},\,\,{\left( {{x^m}} \right)^n} = {x^{mn}}\).
\({\left( {\dfrac{1}{{16}}} \right)^{ - 0,75}} + {\left( {\dfrac{1}{8}} \right)^{ - \frac{4}{3}}} = {16^{0,75}} + {8^{\frac{4}{3}}} = {\left( {{2^4}} \right)^{\frac{3}{4}}} + {\left( {{2^3}} \right)^{\frac{4}{3}}} = {2^3} + {2^4} = 24\).
Biết đồ thị các hàm số $y = {x^3} + \dfrac{5}{4}x - 2$ và $y = {x^2} + x - 2$ tiếp xúc nhau tại điểm $M({x_0}\,;\,{y_0})$. Tìm ${x_0}.$
-
A.
${x_0} = \dfrac{3}{2}$.
-
B.
${x_0} = \dfrac{1}{2}$.
-
C.
${x_0} = - \dfrac{5}{2}.$
-
D.
${x_0} = \dfrac{3}{4}.$
Đáp án : B
- Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc là hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} f\left( x \right) = g\left( x \right) \hfill \\ f'\left( x \right) = g'\left( x \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ có nghiệm.
- Giải hệ trên tìm $x$.
Hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + \dfrac{5}{4}x - 2 = {x^2} + x - 2\\3{x^2} + \dfrac{5}{4} = 2x + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - {x^2} + \dfrac{1}{4}x = 0\\3{x^2} - 2x + \dfrac{1}{4} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\x = \dfrac{1}{6}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\end{array}\)
Vậy $x = \dfrac{1}{2}$ là hoành độ điểm tiếp xúc.
Đẳng thức \(\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = ({x^{\frac{1}{n}}})' = \dfrac{1}{n}{x^{ - \frac{{n - 1}}{n}}} = \dfrac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}\) xảy ra khi:
-
A.
\(x < 0\)
-
B.
\(x > 0\)
-
C.
\(x \ge 0\)
-
D.
\(x \in R\)
Đáp án : B
Sử dụng điều kiện để đẳng thức \(\sqrt[n]{x} = {x^{\frac{1}{n}}}\) xảy ra là \(x > 0\).
Vì \(\sqrt[n]{x} = {x^{\frac{1}{n}}}\) nếu \(x > 0\) nên \(\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = ({x^{\frac{1}{n}}})' = \dfrac{1}{n}{x^{ - \frac{{n - 1}}{n}}} = \dfrac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}\) chỉ đúng nếu \(x > 0\).
Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + b}}{{cx - 1}}\) có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
A.
\(c < 0{\rm{ }};{\rm{ }}b < 0\)
-
B.
\(c > 0\) , \(b < 0\)
-
C.
\(c < 0\) , \(b > 0\)
-
D.
\(c > 0;{\rm{ }}b > 0\)
Đáp án : D
- Nhận biết đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất.
- Dựa vào các đường tiệm cận và các điểm mà đồ thị hàm số đi qua xác định dấu của các hệ số.
Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + b}}{{cx - 1}}\) có TCĐ: \(x = \dfrac{1}{c} > 0 \Rightarrow c > 0.\)
Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + b}}{{cx - 1}}\) cắt trục tung tại điểm có tung độ \(y = - b < 0 \Rightarrow b > 0.\)
Cho hàm số \(y = \dfrac{{2018}}{{x - 2}}\) có đồ thị \(\left( H \right).\) Số đường tiệm cận của \(\left( H \right)\) là:
-
A.
\(2.\)
-
B.
\(0.\)
-
C.
\(3.\)
-
D.
\(1.\)
Đáp án : A
Dựa vào định nghĩa tính giới hạn tìm tiệm cận của đồ thị hàm số
+) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = a \Rightarrow y = a\) là TCN của đồ thị hàm số.
+) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} y = \infty {\rm{\;}} \Rightarrow x = {x_0}\) là TCĐ của đồ thị hàm số.
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt} \to {\kern 1pt} \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt} \to {\kern 1pt} \infty } \dfrac{{2018}}{{x - 2}} = 0 \Rightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Và \(\mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt} \to {\kern 1pt} 2} y = \mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt} \to {\kern 1pt} 2} \dfrac{{2018}}{{x - 2}} = \infty {\rm{\;}} \Rightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có \(2\) đường tiệm cận.
Hai hình tứ diện có các cạnh tương ứng bằng nhau thì chúng:
-
A.
bằng nhau
-
B.
trùng nhau
-
C.
có các đỉnh trùng nhau
-
D.
có đáy trùng nhau
Đáp án : A
Hai tứ diện bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau.
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\left( {a;b} \right)$. Nếu $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ âm sang dương qua điểm ${x_0}$ thuộc \((a;b)\) thì
-
A.
${x_0}$ là điểm cực đại của hàm số.
-
B.
${x_0}$ là điểm cực tiểu của hàm số
-
C.
${x_0}$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
-
D.
${x_0}$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Đáp án : B
Nếu $\left\{ \begin{gathered}f'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {{x_0} - h} \right) \hfill \\f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {{x_0} + h} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ thì ${x_0}$ là một điểm cực tiểu của hàm số.
Nếu $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ âm sang dương qua điểm ${x_0}$ thì ${x_0}$ là điểm cực tiểu của hàm số.
Hàm số $y = - {x^4} - 2{x^2} + 3$ nghịch biến trên:
-
A.
$\left( { - \infty ;0} \right)$
-
B.
$\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {0;1} \right)$
-
C.
$R$
-
D.
$\left( {0; + \infty } \right)$
Đáp án : D
- Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.
- Bước 2: Tính đạo hàm $f'\left( x \right)$, tìm các điểm ${x_1},{x_2},...,{x_n}$ mà tại đó đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.
- Bước 3: Xét dấu đạo hàm và nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
+ Các khoảng mà $f'\left( x \right) > 0$ là các khoảng đồng biến của hàm số.
+ Các khoảng mà $f'\left( x \right) < 0$ là các khoảng nghịch biến của hàm số.
TXĐ: $R$.
Ta có:
\(y'=-4x^3-4x=-4x(x^2+1)\)
\(\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.
Đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3x + 2$ có $2$ điểm cực trị $A,\;B.$ Diện tích tam giác $OAB\;$ với $O(0;0)$ là gốc tọa độ bằng:
-
A.
\(2\)
-
B.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\(3\)
Đáp án : A
- Xác định tọa độ 2 điểm cực trị $A,\;B.$
- Tính diện tích tam giác $OAB$ theo công thức: $S = \dfrac{1}{2}a.h$ (với $a$ là độ dài đáy, $h$ là độ dài đường cao tương ứng với đáy đã chọn).
$\begin{array}{*{20}{l}}{y = {x^3} - 3x + 2 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 3}\\{y' = 0 \Leftrightarrow x = {\rm{\;}} \pm 1}\end{array}$
Tọa độ $2$ điểm cực trị : $A(1;{\mkern 1mu} 0),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B( - 1;4)$
Khi đó ${S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2}.OA.{d(B,OA)} = \dfrac{1}{2}.\left| {{x_A}} \right|.\left| {{y_B}} \right| = \dfrac{1}{2}.\left| 1 \right|.\left| 4 \right| = 2$
Đồ thị hàm số $y = {x^3} - \left( {3m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} + 3m + 2} \right)x + 3$ có điểm cực tiểu và điểm cực đại nằm về hai phía của trục tung khi:
-
A.
$1 < m < 2$
-
B.
$ - 2 < m < - 1$
-
C.
$2 < m < 3$
-
D.
$ - 3 < m < - 2$
Đáp án : B
- Bước 1: Tính $y'$.
- Bước 2: Đồ thị hàm số có $2$ điểm cực trị nằm về hai phía trục tung
$ \Leftrightarrow y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu$ \Leftrightarrow ac < 0$
$y = {x^3} - \left( {3m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} + 3m + 2} \right)x + 3$
$y' = 3{x^2} - \left( {6m + 2} \right)x + {m^2} + 3m + 2$
Để cực tiểu và cực đại của đồ thị hàm số $y$ nằm về hai phía của trục tung thì ${x_1}{x_2} < 0,$ với ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình $y' = 0.$
$ \Leftrightarrow 3({m^2} + 3m + 2) < 0 \Leftrightarrow {m^2} + 3m + 2 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < - 1$
Đồ thị hàm số \(y = \sqrt {4{x^2} + 4x + 3} - \sqrt {4{x^2} + 1} \) có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?
-
A.
\(2\)
-
B.
\(0\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\(3\)
Đáp án : A
- Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số\(y = f(x)\):
Nếu\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\mkern 1mu} f(x) = a{\mkern 1mu} \) hoặc \({\mkern 1mu} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {\mkern 1mu} f(x) = a \Rightarrow y = a\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
- Nhân chia biểu thức liên hợp để biến đổi hàm số và tính các giới hạn\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\mkern 1mu} f(x)\) và\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {\mkern 1mu} f(x)\)
Tập xác định :\(D = \mathbb{R}\) .
\(\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3} - \sqrt {4{x^2} + 1} } \right) \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3} - \sqrt {4{x^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3} + \sqrt {4{x^2} + 1} } \right)}}{{\sqrt {4{x^2} + 4x + 3} + \sqrt {4{x^2} + 1} }}}\\{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{4x + 2}}{{\sqrt {4{x^2} + 4x + 3} + \sqrt {4{x^2} + 1} }} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{4 + \dfrac{2}{x}}}{{\sqrt {4 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} + \sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} \\= \dfrac{4}{{2 + 2}} = 1}\\{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3} - \sqrt {4{x^2} + 1} } \right) \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3} - \sqrt {4{x^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3} + \sqrt {4{x^2} + 1} } \right)}}{{\sqrt {4{x^2} + 4x + 3} + \sqrt {4{x^2} + 1} }}}\\{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{4x + 2}}{{\sqrt {4{x^2} + 4x + 3} + \sqrt {4{x^2} + 1} }} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{4 + \dfrac{2}{x}}}{{ - \sqrt {4 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} - \sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} \\= \dfrac{4}{{ - 2 - 2}} = - 1}\end{array}\)
Vậy, đồ thị hàm số \(y = \sqrt {4{x^2} + 4x + 3} - \sqrt {4{x^2} + 1} \) có $2$ tiệm cận ngang là \(y = 1, y = - 1\) .
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có bảng biến thiên sau:
Đồ thị nào trong các phương án A, B, C, D thể hiện hàm số \(y = f\left( x \right)\)?
-
A.
-
B.
-
C.
-
D.
Đáp án : A
Quan sát bảng biến thiên, nhận xét các yếu tố liên quan rồi đối chiếu các đồ thị ở mỗi đáp án.
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy:
- Khi \(x \to + \infty \) thì \(y \to + \infty \). Loại C và D.
- Tọa độ các điểm cực trị là \(\left( { - 1;2} \right)\) và \(\left( {1; - 2} \right)\) nên đáp án A là phù hợp.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = - 2{x^3} + 4x + 2$ tại điểm có hoành độ bằng $0.$
-
A.
$y = 4x.$
-
B.
$y = 4x + 2.$
-
C.
$y = 2x.$
-
D.
$y = 2x + 2.$
Đáp án : B
Bước 1: Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số là $A\left( {0;2} \right)$
Bước 2: Phương trình tiếp tuyến tại điểm A có dạng $y = y'\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right) + 2$
Bước 3: Tính $y'\left( 0 \right)$ và thay vào phương trình trên để ra phương trình tiếp tuyến tại $A.$
Bước 1: Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số là $A\left( {0;2} \right).$
Bước 2: Phương trình tiếp tuyến tại điểm A có dạng $y = y'\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right) + 2.$
Ta có $y' = - 6{x^2} + 4 \Rightarrow y'\left( 0 \right) = 4.$ Do đó phương trình tiếp tuyến là $y = 4x + 2.$
Rút gọn biểu thức $B = \dfrac{{{a^{2\sqrt 2 }} - {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1$ ta được kết quả là:
-
A.
$\dfrac{{{a^{\sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}$
-
B.
$\dfrac{{{a^{2\sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}$
-
C.
$\dfrac{{2{a^{\sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}$
-
D.
$0$
Đáp án : C
Sử dụng công thức ${a^{xy}} = {\left( {{a^x}} \right)^y}$ kết hợp sử dụng hằng đẳng thức, quy đồng mẫu thức để biến đổi và rút gọn $B$.
Ta có: $B = \dfrac{{{a^{2\sqrt 2 }} - {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1 = \dfrac{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)\left( {{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }}} \right)}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1 $
$= \dfrac{{{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}} + 1 = \dfrac{{{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }} + {a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}} = \dfrac{{2{a^{\sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}$
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {{x^{1 + \dfrac{1}{{2{{\log }_4}x}}}} + {8^{\dfrac{1}{{3{{\log }_{{x^2}}}2}}}} + 1} \right)^{\dfrac{1}{2}}} - 1\) với \(0 < x \ne 1\). Tính giá trị biểu thức \(P = f\left( {f\left( {2018} \right)} \right)\).
-
A.
\(P = 2016\)
-
B.
\(P = 1009\)
-
C.
\(P = 2018\)
-
D.
\(P = {2018^2}\)
Đáp án : C
Sử dụng các công thức biến đổi logarit \({\log _a}{a^n} = n;{\log _a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_b}a}};{a^{{{\log }_a}b}} = b\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{x^{1 + \dfrac{1}{{2{{\log }_4}x}}}} = {x^{1 + \dfrac{1}{{{{\log }_2}x}}}} = {x^{1 + {{\log }_x}2}} = {x^{{{\log }_x}2x}} = 2x\\{8^{\dfrac{1}{{3{{\log }_{{x^2}}}2}}}} = {2^{3.\dfrac{1}{{3{{\log }_{{x^2}}}2}}}} = {2^{\dfrac{1}{{{{\log }_{{x^2}}}2}}}} = {2^{{{\log }_2}{x^2}}} = {x^2}\end{array}\)
Khi đó \(f\left( x \right) = {\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)^{\dfrac{1}{2}}} - 1 = {\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \right)^{\dfrac{1}{2}}} - 1 = x \Rightarrow f\left( x \right) = x\)
Do đó \(P = f\left( {f\left( {2018} \right)} \right) = f\left( {2018} \right) = 2018\).
Biết \({\log _{15}}20 = a + \dfrac{{2{{\log }_3}2 + b}}{{{{\log }_3}5 + c}}\) với \(a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{Z}\). Tính \(T = a + b + c\).
-
A.
\(T = - 3\)
-
B.
\(T = 3\)
-
C.
\(T = - 1\)
-
D.
\(T = 1\)
Đáp án : D
Sử dụng các công thức: \({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\,\,\left( {0 < a \ne 1,\,\,x,\,\,y > 0} \right)\), \({\log _a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_b}a}}\,\,\left( {0 < a,\,\,b \ne 1} \right)\), \({\log _a}b = \dfrac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}\,\,\left( {0 < a,c \ne 1,\,\,b > 0} \right)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{\log _{15}}20 = {\log _{15}}\left( {{2^2}.5} \right)\\ = 2{\log _{15}}2 + {\log _{15}}5\\ = \dfrac{2}{{{{\log }_2}15}} + \dfrac{1}{{{{\log }_5}15}}\\ = \dfrac{2}{{{{\log }_2}3 + {{\log }_2}5}} + \dfrac{1}{{{{\log }_5}3 + {{\log }_5}5}}\\ = \dfrac{2}{{\dfrac{1}{{{{\log }_3}2}} + \dfrac{{{{\log }_3}5}}{{{{\log }_3}2}}}} + \dfrac{1}{{{{\log }_5}3 + 1}}\\ = \dfrac{{2{{\log }_3}2}}{{1 + {{\log }_3}5}} + \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{{{\log }_3}5}} + 1}}\\ = \dfrac{{2{{\log }_3}2}}{{1 + {{\log }_3}5}} + \dfrac{{{{\log }_3}5}}{{{{\log }_3}5 + 1}}\\ = \dfrac{{2{{\log }_3}2 + {{\log }_3}5}}{{{{\log }_3}5 + 1}}\\ = \dfrac{{{{\log }_3}5 + 1 + 2{{\log }_3}2 - 1}}{{{{\log }_3}5 + 1}}\\ = 1 + \dfrac{{2{{\log }_3}2 - 1}}{{{{\log }_3}5 + 1}}\end{array}\)
\( \Rightarrow a = 1,\,\,b = - 1,\,\,c = 1\).
Vậy \(T = a + b + c = 1 + \left( { - 1} \right) + 1 = 1.\)
Cho \(\ln x = 2\). Tính giá trị của biểu thức \(T = 2\ln \sqrt {ex} - \ln \dfrac{{{e^2}}}{{\sqrt x }} + \ln 3.{\log _3}e{x^2}\) ?
-
A.
\(T = 7\)
-
B.
\(T = 12\)
-
C.
\(T = 13\)
-
D.
\(T = 21\)
Đáp án : A
Để tính giá trị biểu thức chứa logarit cần nhớ các công thức, tính chất liên quan đến logarit
+ Quy tắc tính logarit của một tích, một thương
\(\begin{array}{l}{\log _a}\left( {{b_1}.{b_2}} \right) = {\log _a}{b_1} + {\log _a}{b_2}\\{\log _a}\left( {\dfrac{{{b_1}}}{{{b_2}}}} \right) = {\log _a}{b_1} - {\log _a}{b_2}\end{array}\)
+ Các công thức về logarit: ${\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b$
+ Chú ý $\ln e$ là ${\log _e}e = 1$
Ta có
$\begin{array}{l}T = 2\ln \sqrt {ex} - \ln \dfrac{{{e^2}}}{{\sqrt x }} + \ln 3.{\log _3}e{x^2}\\ = 2\ln \left( {{e^{\dfrac{1}{2}}}.{x^{\dfrac{1}{2}}}} \right) - \left( {\ln {e^2} - \ln {x^{\dfrac{1}{2}}}} \right) + \ln 3.\dfrac{{\ln \left( {e.{x^2}} \right)}}{{\ln 3}}\\ = 2\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\ln x} \right) - \left( {2 - \dfrac{1}{2}\ln x} \right) + \ln e + 2\ln x\\ = 2\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}.2} \right) - \left( {2 - \dfrac{1}{2}.2} \right) + 1 + 2.2 = 7\end{array}$
Cho bốn hình sau đây. Mệnh đề nào sau đây sai:
-
A.
Khối đa diện A là khối chóp tứ giác.
-
B.
Cả 4 khối đa diện A, B, C, D đều là khối đa diện lồi.
-
C.
Khối đa diện C là khối đa diện lồi
-
D.
Khối đa diện B là khối đa diện lồi
Đáp án : B
Khối đa diện A là khối chóp tứ giác.
Khối đa diện D không phải là khối đa diện lồi
Khối đa diện B, C là khối đa diện lồi
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\). Mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Đường thẳng \(SC\) tạo với đáy góc \({45^0}\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AD\). Thể tích của khối chóp \(S.MCDN\) là:
-
A.
\(\dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)
-
B.
\(\dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)
-
C.
\(\dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{8}\)
-
D.
\(\dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}\)
Đáp án : D
- Chứng minh \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và tính \(SA\).
- Xác định góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng đáy, sử dụng định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
- Tính diện tích đáy \(MCDN\).
- Tính thể tích khối chóp theo công thức \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).
\(\left. \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right)\)
\( \Rightarrow AC\) là hình chiếu vuông góc của $SC$ trên \(\left( {ABCD} \right) \Rightarrow \widehat {\left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;AC} \right)} = \widehat {SCA} = {45^0}\)
(vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC \Rightarrow \Delta SAC\) vuông tại \(A \Rightarrow \widehat {SCA} < {90^o}\))
\( \Rightarrow SA = AC = a\sqrt 2 \)
\(\begin{array}{l}{S_{ABCD}} = {a^2}\\{S_{AMN}} = \dfrac{1}{2}AM.AN = \dfrac{1}{2}\dfrac{a}{2}\dfrac{a}{2} = \dfrac{{{a^2}}}{8}\\{S_{BCM}} = \dfrac{1}{2}BM.BC = \dfrac{1}{2}\dfrac{a}{2}.a = \dfrac{{{a^2}}}{4}\\ \Rightarrow {S_{MCDN}} = {S_{ABCD}} - {S_{AMN}} - {S_{BCM}} = {a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{8} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{5{a^2}}}{8}\\ \Rightarrow {V_{S.MCDN}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{MCDN}} = \dfrac{1}{3}a\sqrt 2 .\dfrac{{5{a^2}}}{8} = \dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}\end{array}\)
Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) với $ABC$ là tam giác vuông cân tại $C$ có \(AB = a\) , mặt bên \(ABB'A'\) là hình vuông. Mặt phẳng qua trung điểm $I$ của $AB$ và vuông góc với \(AB'\) chia khối lăng trụ thành 2 phần. Tính thể tích mỗi phần?
-
A.
\({V_1} = \dfrac{{{a^3}}}{{48}},{V_2} = \dfrac{{11{a^3}}}{{24}}\)
-
B.
\({V_1} = \dfrac{{{a^3}}}{{24}},{V_2} = \dfrac{{11{a^3}}}{{48}}\)
-
C.
\({V_1} = \dfrac{{{a^3}}}{{48}},{V_2} = \dfrac{{11{a^3}}}{{48}}\)
-
D.
\({V_1} = \dfrac{{{a^3}}}{{24}},{V_2} = \dfrac{{5{a^3}}}{{24}}\)
Đáp án : C
- Dựng mặt phẳng đi qua \(I\) và vuông góc với \(AB'\) (là mặt phẳng \(\left( {DIC} \right)\) với \(D\) là trung điểm của \(AA'\).
- Tính diện tích tam giác \(ABC\), từ đó suy ra diện tích tam giác \(AIC\).
- Tính độ dài đường cao \(A'A\) của lăng trụ và độ dài đường cao \(DA\) của hình chóp \(D.AIC\).
- Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) và khối chóp \(D.AIC\), từ đó tính được thể tích phần còn lại của khối lăng trụ được chia bởi mặt phẳng \(\left( {DIC} \right)\)
Gọi $D$ là trung điểm của $AA'$ ta có $ID$ là đường trung bình của tam giác \(AA'B \Rightarrow ID//A'B\)
Mà \(A'B \bot AB'\) (do \(ABB'A'\) là hình vuông)
\( \Rightarrow ID \bot AB'\)
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$ nên \(IC \bot AB\). Mà \(AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AA' \bot IC\)
\( \Rightarrow IC \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow IC \bot AB'\)
\( \Rightarrow AB' \bot \left( {ICD} \right)\)
\( \Rightarrow \) Mặt phẳng qua $I$ và vuông góc với $AB'$ là \(\left( {ICD} \right)\)
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$ nên \(AC = BC = \dfrac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AC.BC = \dfrac{1}{2}\dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\dfrac{a}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{{a^2}}}{4}\)
\(ABB'A'\) là hình vuông \( \Rightarrow AA' = AB = a\)
\( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = a.\dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{{a^3}}}{4} = V\)
Ta có: \({V_{D.ACI}} = \dfrac{1}{3}AD.{S_{ACI}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}AA'.\dfrac{1}{2}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{{12}}{V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{1}{{12}}.\dfrac{{{a^3}}}{4} = \dfrac{{{a^3}}}{{48}} = {V_1}\)
\( \Rightarrow {V_2} = V - {V_1} = \dfrac{{{a^3}}}{4} - \dfrac{{{a^3}}}{{48}} = \dfrac{{11{a^3}}}{{48}}\)
Một người lần đầu gửi vào ngân hàng $100$ triệu đồng với kì hạn $3$ tháng, lãi suất $2\% $ một quý theo hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm $100$ triệu đồng với kì hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được sau 1 năm gửi thêm tiền gần nhất với kết quả nào sau đây?
-
A.
$210$ triệu
-
B.
$220$ triệu
-
C.
$212$ triệu
-
D.
$216$ triệu
Đáp án : B
- Tính số tiền có được sau 6 tháng đầu.
- Tính số tiền có được sau 1 năm gửi tiếp.
Sử dụng công thức lãi kép không kì hạn $T = A{\left( {1 + r} \right)^N}$
Số tiền người đó có sau 6 tháng = 2 quý: ${T_1} = 100{\left( {1 + 2\% } \right)^2} = 104,04$ triệu.
Số tiền người đó có ngay sau khi gửi thêm $100$ triệu là: $104,04 + 100 = 204,04$ triệu.
Số tiền người đó có sau 1 năm = 4 quý nữa là: ${T_2} = 204,04{\left( {1 + 2\% } \right)^4} = 220$ triệu.
Cho các số thực $x, y$ thỏa mãn ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + 2xy \leqslant 32.$ Giá trị nhỏ nhất $m$ của biểu thức $A = {x^3} + {y^3} + 3\left( {xy - 1} \right)\left( {x + y - 2} \right)$ là:
-
A.
$m = 16$
-
B.
$m = 0$
-
C.
$m = \dfrac{{17 - 5\sqrt 5 }}{4}$
-
D.
$m = 398$
Đáp án : C
Giải bất phương trình ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + 2xy \leqslant 32$ với ẩn $x + y$ để tìm điều kiện của $x + y$.
Biến đổi biểu thức $A$ thành đa thức bậc ba ẩn $x + y$, đặt ẩn phụ $t = x + y$ rồi xét hàm số, chú ý điều kiện $x + y$ tìm được ở trên.
${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + 2xy \leqslant 32 $ $\Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 8\left( {x + y} \right) \leqslant 0 $ $\Leftrightarrow 0 \leqslant x + y \leqslant 8$
$A = {\left( {x + y} \right)^3} - 3\left( {x + y} \right) - 6xy + 6 $ $\geqslant {\left( {x + y} \right)^3} - \dfrac{3}{2}{\left( {x + y} \right)^2} - 3\left( {x + y} \right) + 6$
(do ${\left( {x + y} \right)^2} \geqslant 4xy $ $\Rightarrow xy \leqslant \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} $ $\Rightarrow - 6xy \geqslant - \dfrac{3}{2}{\left( {x + y} \right)^2}$ )
Xét hàm số $f\left( t \right) = {t^3} - \dfrac{3}{2}{t^2} - 3t + 6$ trên đoạn $\left[ {0,8} \right]$, ta có
$f'\left( t \right) = 3{t^2} - 3t - 3,f'\left( t \right) = 0 $ $\Leftrightarrow t = \dfrac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}$
(giá trị $\dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2} \notin \left[ {0;8} \right]$ nên loại)
Thực hiện tính toán ta có: $f\left( 0 \right) = 6,f\left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right) = \dfrac{{17 - 5\sqrt 5 }}{4},f\left( 8 \right) = 398 $
$\Rightarrow A \geqslant f\left( t \right) \geqslant \dfrac{{17 - 5\sqrt 5 }}{4} \Rightarrow A \geqslant \dfrac{{17 - 5\sqrt 5 }}{4}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ là $\dfrac{{17 - 5\sqrt 5 }}{4}$ xảy ra khi $\left\{ \begin{gathered} x + y = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2} \hfill \\ x = y \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = y = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{4}$
Có bao nhiêu bộ ba số thực \(\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{3^{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{{.9}^{\sqrt[3]{{{y^2}}}}}{{.27}^{\sqrt[3]{{{z^2}}}}} = {3^6}}\\
{x.{y^2}.{z^3} = 1}
\end{array}\)
-
A.
4
-
B.
3
-
C.
2
-
D.
1
Đáp án : A
Đưa hệ phương trình về hệ đơn giản để giải.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{3^{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{.9^{\sqrt[3]{{{y^2}}}}}{.27^{\sqrt[3]{{{z^2}}}}} = {3^6}\\ \Leftrightarrow {3^{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{.3^{2.\sqrt[3]{{{y^2}}}}}{.3^{3.\sqrt[3]{{{z^2}}}}} = {3^6}\\ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{x^2}}} + 2.\sqrt[3]{{{y^2}}} + 3.\sqrt[3]{{{z^2}}} = 6\end{array}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\sqrt[3]{{{x^2}}} + 2.\sqrt[3]{{{y^2}}} + 3.\sqrt[3]{{{z^2}}}\\ = \sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}} + \sqrt[3]{{{z^2}}} + \sqrt[3]{{{z^2}}} + \sqrt[3]{{{z^2}}}\\ \ge 6.\sqrt[6]{{\sqrt[3]{{{x^2}}}.{{\left( {\sqrt[3]{{{y^2}}}} \right)}^2}.{{\left( {\sqrt[3]{{{z^2}}}} \right)}^3}}}\\ = 6.\sqrt[6]{{\sqrt[3]{{{{\left( {x.{y^2}.{z^3}} \right)}^2}}}}} = 6\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt[3]{{{x^2}}} = \sqrt[3]{{{y^2}}} = \sqrt[3]{{{z^2}}} = 1\\x.{y^2}.{z^3} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = {y^2} = {z^2} = 1\\x.{y^2}.{z^3} = 1\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow \left( {x;y;z} \right) \in \left\{ {\left( { - 1; - 1; - 1} \right);\left( { - 1;1; - 1} \right);\left( {1; - 1;1} \right);\left( {1;1;1} \right)} \right\}\).
Vậy có 4 bộ số thực \(\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;\dfrac{{5\pi }}{2}} \right]\) của phương trình \(f\left( {\sin \,x} \right) = 1\) là:
-
A.
\(7.\)
-
B.
\(4.\)
-
C.
\(5.\)
-
D.
\(6.\)
Đáp án : C
Đặt \(\sin x = t\), từ phương trình đã cho suy ra nghiệm \(t\)
Sử dụng đường tròn lượng giác để suy ra số nghiệm \(x\).
Xét \(x \in \left[ {0;\,\,\,\dfrac{{5\pi }}{2}} \right]:\)
Đặt \(t = \sin x\,\,\,\,\left( {t \in \left[ { - 1;\,\,\,1} \right]} \right)\).
Dựa vào BBT ta thấy phương trình \(f\left( t \right) = 1\) có nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}t = {t_1} < - 1\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = {t_2} \in \left( { - 1;0} \right)\\t = {t_3} \in \left( {0;1} \right)\\t = {t_4} > 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Suy ra \(\left[ \begin{array}{l}\sin x = {t_2} \in \left( { - 1;0} \right)\\\sin x = {t_3} \in \left( {0;1} \right)\end{array} \right.\)
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy,
+) Phương trình \(\sin x = {t_3} \in \left( {0;1} \right)\) có 3 nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;\dfrac{{5\pi }}{2}} \right]\)
+) Phương trình \(\sin x = {t_2} \in \left( { - 1;0} \right)\) có 2 nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;\dfrac{{5\pi }}{2}} \right]\)
Vậy phương trình đã cho có tất cả 5 nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;\dfrac{{5\pi }}{2}} \right].\)
Cho $(C)$ là đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$. Tìm các điểm trên $(C)$ sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất:
-
A.
$\left( 1;1 \right)$
-
B.
$\left( {2 + \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 } \right)$ và $\left( {2 - \sqrt 3 ;1 - \sqrt 3 } \right)$
-
C.
$\left( {1 - \sqrt 3 ;1 - \sqrt 3 } \right)$
-
D.
$\left( {1 + \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 } \right)$
Đáp án : B
- Gọi điểm $M$ có tọa độ thỏa mãn phương trình hàm số.
- Tìm phương trình hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
- Sử dụng công thức tính khoảng cách để tính tổng khoảng cách của điểm $M$ đến hai tiệm cận.
- Tìm GTNN của biểu thức ở trên, từ đó suy ra $m$.
Gọi $M\left( {m;\dfrac{{m + 1}}{{m - 2}}} \right) \in \left( C \right)\,\left( {m \ne 2} \right)$. Tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận $x = 2 $ và $y = 1$ là
$S = \left| {m - 2} \right| + \left| {\dfrac{{m + 1}}{{m - 2}} - 1} \right| = \left| {m - 2} \right| + \dfrac{3}{{\left| {m - 2} \right|}} \geqslant 2\sqrt {\left| {m - 2} \right|.\dfrac{3}{{\left| {m - 2} \right|}}} = 2\sqrt 3 $
Dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow \left| {m - 2} \right| = \dfrac{3}{{\left| {m - 2} \right|}} \Leftrightarrow \left| {m - 2} \right| = \sqrt 3 \Leftrightarrow m = 2 \pm \sqrt 3 $
Vậy có 2 điểm thỏa mãn bài toán là ${M_1}\left( {2 + \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 } \right),{M_2}\left( {2 - \sqrt 3 ;1 - \sqrt 3 } \right)$
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(G\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \). Mặt phẳng thay đổi chứa \(BG\) và cắt \(AC,\,\,AD\) lần lượt tại \(M\) và \(N\). Giá trị nhỏ nhất của tỉ số \(\dfrac{{{V_{ABMN}}}}{{{V_{ABCD}}}}\) là
-
A.
\(\dfrac{3}{8}\)
-
B.
\(\dfrac{4}{9}\)
-
C.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
D.
\(\dfrac{5}{9}\)
Đáp án : B
Gọi \(O\) là trọng tâm tam giác \(BCD\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 3\overrightarrow {GO} \\ \Rightarrow \overrightarrow {GA} + 3\overrightarrow {GO} = \overrightarrow 0 \\ \Rightarrow \overrightarrow {GA} = - 3\overrightarrow {GO} \\ \Rightarrow \dfrac{{AG}}{{AO}} = \dfrac{3}{4}\end{array}\)
Trong \(\left( {ABE} \right)\) gọi \(F = BG \cap AE\,\,\left( {F \in AE} \right)\).
Lấy \(M \in AC\), trong \(\left( {ACD} \right)\) gọi \(N = MF \cap AD\,\,\,\left( {N \in AD} \right)\), khi đó ta có mặt phẳng chứa \(BG\) cắt \(AC,\,\,AD\) lần lượt tại \(M,\,\,N\) chính là \(\left( {BMN} \right)\).
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(AOE\), cát tuyến \(BGF\):
\(\dfrac{{GA}}{{GO}}.\dfrac{{BO}}{{BE}}.\dfrac{{FE}}{{FA}} = 1 \Rightarrow 3.\dfrac{2}{3}.\dfrac{{FE}}{{FA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{FE}}{{FA}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow \dfrac{{AF}}{{AE}} = \dfrac{2}{3}\) \( \Rightarrow F\) là trọng tâm tam giác \(ACD\).
Trong \(\left( {ACD} \right)\) kéo dài \(MN\) cắt \(CD\) tại \(H\). Đặt \(\dfrac{{AM}}{{AC}} = x\) \(\left( {0 < x < 1} \right)\).
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(ACE\), cát tuyến \(MHF\):
\(\dfrac{{MA}}{{MC}}.\dfrac{{HC}}{{HE}}.\dfrac{{FE}}{{FA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{x}{{1 - x}}.\dfrac{{HC}}{{HE}}.\dfrac{1}{2} = 1\)\( \Rightarrow \dfrac{{HC}}{{HE}} = \dfrac{{2\left( {1 - x} \right)}}{x}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow HE = \dfrac{x}{{2\left( {1 - x} \right)}}HC\\ \Rightarrow HC + CE = \dfrac{x}{{2\left( {1 - x} \right)}}HC\\ \Rightarrow CE = \dfrac{{3x - 2}}{{2\left( {1 - x} \right)}}HC\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}HD = HC + 2CE\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = HC + \dfrac{{3x - 2}}{{1 - x}}HC = \dfrac{{2x - 1}}{{1 - x}}HC\\ \Rightarrow \dfrac{{HE}}{{HD}} = \dfrac{x}{{2\left( {1 - x} \right)}}:\dfrac{{2x - 1}}{{1 - x}} = \dfrac{x}{{2\left( {2x - 1} \right)}}\end{array}\)
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(AED\), cát tuyến \(MFN\):
\(\begin{array}{l}\dfrac{{FA}}{{FE}}.\dfrac{{HE}}{{HD}}.\dfrac{{ND}}{{NA}} = 1 \Rightarrow 2.\dfrac{x}{{2\left( {2x - 1} \right)}}.\dfrac{{ND}}{{NA}} = 1\\ \Rightarrow \dfrac{{ND}}{{NA}} = \dfrac{{2x - 1}}{x} \Rightarrow \dfrac{{NA}}{{ND}} = \dfrac{x}{{2x - 1}}\\ \Rightarrow \dfrac{{NA}}{{NA + ND}} = \dfrac{x}{{x + 2x - 1}} = \dfrac{x}{{3x - 1}}\\ \Rightarrow \dfrac{{AN}}{{AD}} = \dfrac{x}{{3x - 1}}\end{array}\).
Khi đó ta có \(\dfrac{{{V_{ABMN}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \dfrac{{AM}}{{AC}}.\dfrac{{AN}}{{AD}} = x.\dfrac{x}{{3x - 1}} = \dfrac{{{x^2}}}{{3x - 1}}\,\,\left( {x > \dfrac{1}{3}} \right)\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{3x - 1}}\,\,\left( {x > \dfrac{1}{3}} \right)\) ta có \(f'\left( x \right) = \dfrac{{2x\left( {3x - 1} \right) - 3{x^2}}}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{3{x^2} - 2x}}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}}\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\x = \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( {\dfrac{2}{3}} \right) = \dfrac{4}{9}\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của tỉ số \(\dfrac{{{V_{ABMN}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \dfrac{4}{9}\).
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
