-
Đề kiểm tra 15 phút
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương I - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương II - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương III - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương IV – Giải tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương I - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương II - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương III - Hình học 12
-
-
Đề kiểm tra 1 tiết
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương I - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương II - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương III - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương IV - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương I - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương II - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương III - Hình học 12
-
-
Đề thi giữa học kì 1
-
Đề thi học kì 1
-
Đề thi giữa học kì 2
-
Đề thi học kì 2
-
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN
Đề kiểm tra 1 tiết Toán 12 chương 1: Hàm số - Đề số 1
Đề bài
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $R\backslash \left\{ { - 1;\,1} \right\}$, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên sau:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng $y = 2m + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại hai điểm phân biệt.
-
A.
$m \leqslant - 2$ hoặc $m \geqslant 1$
-
B.
$m \geqslant 1$
-
C.
$m < - 2$ hoặc $m > 1$
-
D.
$m \leqslant - 2$
Hàm số nào dưới đây không có cực trị?
-
A.
\(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}\)
-
B.
\(y = {x^2}\)
-
C.
\(y = {x^3} - 3x\)
-
D.
\(y = - {x^4}\)
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào không đồng biến trên $R?$
-
A.
\(y = \sin x - 3x\)
-
B.
\(y = \cos x + 2x\)
-
C.
\(y = {x^3}\)
-
D.
\(y = {x^5}\)
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $R$ có bảng biến thiên:
Bảng biến thiên trên là bảng biến thiên của hàm số nào?
-
A.
$y = {x^3} + 2{x^2} - 5$
-
B.
$y = {x^4} + 2{x^2} - 3$
-
C.
$y = - {x^3} + 3{x^2} - 1$
-
D.
$y = - {x^3} - 3{x^2} - 1$
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = {x^3} - 2m{x^2} + {m^2}x + 2$ đạt cực tiểu tại $x=1$.
-
A.
$m = 3$
-
B.
$m = 1 \vee m = 3$
-
C.
$m = - 1$
-
D.
$m = 1$
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\left( {a;b} \right)$. Nếu $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ âm sang dương qua điểm ${x_0}$ thuộc \((a;b)\) thì
-
A.
${x_0}$ là điểm cực đại của hàm số.
-
B.
${x_0}$ là điểm cực tiểu của hàm số
-
C.
${x_0}$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
-
D.
${x_0}$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Các đồ thị hàm số $y = {x^4} - 2{x^2} + 2$ và $y = - {x^2} + 4$ có tất cả bao nhiêu điểm chung?
-
A.
$4$
-
B.
$1$
-
C.
$0$
-
D.
$2$
Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\left[ {0;2} \right]$ và có GTNN trên đoạn đó bằng $5$. Chọn kết luận đúng:
-
A.
$f\left( 0 \right) < 5$
-
B.
$f\left( 2 \right) \geqslant 5$
-
C.
$f\left( 1 \right) = 5$
-
D.
$f\left( 0 \right) = 5$
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng:
-
A.
Hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ;2} \right)$
-
B.
Hàm số nghịch biến trên $\left( { - 2;0} \right)$
-
C.
$f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in R$
-
D.
Hàm số đồng biến trên $\left( {0;3} \right)$
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $\left[ { - \dfrac{\pi }{2}; - \dfrac{\pi }{3}} \right]$ lần lượt là
-
A.
$ - \dfrac{1}{2}; - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$
-
B.
$ - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}; - 1$
-
C.
$ - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}; - 2$
-
D.
$ - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}; - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$
Hàm số $y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ, chọn kết luận đúng:
-
A.
$a > 0$
-
B.
$a < 0$
-
C.
$a = 0$
-
D.
$a \leqslant 0$
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
-
A.
Hàm số đạt cực đại tại $x = 3$
-
B.
GTNN của hàm số bằng giá trị cực tiểu của hàm số.
-
C.
Hàm số không có GTNN.
-
D.
Hàm số có GTLN là $3$.
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên trên khoảng $\left( {0;2} \right)$ như sau:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng:
-
A.
Trên $\left( {0;2} \right)$, hàm số không có cực trị
-
B.
Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$
-
C.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$
-
D.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm trên \(R\). Chọn kết luận đúng:
-
A.
Nếu \(f'\left( x \right) > 0,\forall x \in R\) thì hàm số đồng biến trên \(R\).
-
B.
Nếu \(f'\left( x \right) < 0,\forall x \in R\) thì hàm số đồng biến trên \(R\).
-
C.
Nếu \(f'\left( x \right) = 0,\forall x \in R\) thì hàm số nghịch biến trên \(R\).
-
D.
Nếu \(f'\left( x \right) = 0,\forall x \in R\) thì hàm số đồng biến trên \(R\).
Cho hàm số \(y = \dfrac{{2018}}{{x - 2}}\) có đồ thị \(\left( H \right).\) Số đường tiệm cận của \(\left( H \right)\) là:
-
A.
\(2.\)
-
B.
\(0.\)
-
C.
\(3.\)
-
D.
\(1.\)
Hàm số $y = - {x^4} - 2{x^2} + 3$ nghịch biến trên:
-
A.
$\left( { - \infty ;0} \right)$
-
B.
$\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {0;1} \right)$
-
C.
$R$
-
D.
$\left( {0; + \infty } \right)$
Cho hàm số $y = {x^4} - 2m{x^2} + 3m + 2.$ Tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số có $3$ điểm cực trị tạo thành tam giác đều là:
-
A.
$m = \sqrt[3]{3}$
-
B.
$m = 0$
-
C.
$m = - \sqrt[3]{3}$
-
D.
$m = 3$
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = {x^3} - 5{{\text{x}}^2} + 3{\text{x}} - 1$ trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$
-
A.
$M = - 10$
-
B.
$M = - 7$
-
C.
$M = - 5$
-
D.
$M = 1$
Đồ thị hàm số $y = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}$ có bao nhiêu đường tiệm cận ngang:
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
$3$
Cho các dạng đồ thị (I), (II), (III) như hình dưới đây:
Liệt kê tất cả các dạng có thể biểu diễn đồ thị hàm số \(y = {x^3} + b{x^2} - x + d\).
-
A.
(I)
-
B.
(I) và (II)
-
C.
(III)
-
D.
(I) và (IIII)
Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{ax + 2}}{{cx + b}}$ như hình vẽ bên.
Chọn khẳng định đúng:
-
A.
$a = 2;\,b = 2;\,c = - 1$
-
B.
$a = 1;b = 1;c = - 1$
-
C.
$a = 1;\,b = 2;\,c = 1$
-
D.
$a = 1;\,b = - 2;\,c = 1$
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $y = - 2x + m$ cắt đồ thị $(H)$ của hàm số $y = \dfrac{{2x + 3}}{{x + 2}}$ tại hai điểm$A,{\text{ }}B$ phân biệt sao cho $P = k_1^{2018} + k_2^{2018}$ đạt giá trị nhỏ nhất (với ${k_1},{k_2}$ là hệ số góc của tiếp tuyến tại $A,{\text{ }}B$ của đồ thị $(H)$.
-
A.
$m = - 3$
-
B.
$m = - 2$
-
C.
$m = 3$
-
D.
$m = 2$
Cho $(C)$ là đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$. Tìm các điểm trên $(C)$ sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất:
-
A.
$\left( 1;1 \right)$
-
B.
$\left( {2 + \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 } \right)$ và $\left( {2 - \sqrt 3 ;1 - \sqrt 3 } \right)$
-
C.
$\left( {1 - \sqrt 3 ;1 - \sqrt 3 } \right)$
-
D.
$\left( {1 + \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 } \right)$
Cho các số thực $x, y$ thỏa mãn ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + 2xy \leqslant 32.$ Giá trị nhỏ nhất $m$ của biểu thức $A = {x^3} + {y^3} + 3\left( {xy - 1} \right)\left( {x + y - 2} \right)$ là:
-
A.
$m = 16$
-
B.
$m = 0$
-
C.
$m = \dfrac{{17 - 5\sqrt 5 }}{4}$
-
D.
$m = 398$
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục và có đạo hàm cấp hai trên $R$. Đồ thị của các hàm số $y = f(x),y = f'(x),y = f''(x)$ lần lượt là các đường cong nào trong hình vẽ bên.
-
A.
$\left( {{C_3}} \right),\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right)$
-
B.
$\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right),\left( {{C_3}} \right)$
-
C.
$\left( {{C_3}} \right),\left( {{C_2}} \right),\left( {{C_1}} \right)$
-
D.
$\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_3}} \right),\left( {{C_2}} \right)$
Lời giải và đáp án
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $R\backslash \left\{ { - 1;\,1} \right\}$, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên sau:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng $y = 2m + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại hai điểm phân biệt.
-
A.
$m \leqslant - 2$ hoặc $m \geqslant 1$
-
B.
$m \geqslant 1$
-
C.
$m < - 2$ hoặc $m > 1$
-
D.
$m \leqslant - 2$
Đáp án : C
- Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào số giao điểm của đường thẳng và đường cong vừa vẽ được.
Quan sát BBT ta thấy đường thẳng $y = 2m + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại hai điểm phân biệt $ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}2m + 1 < - 3 \hfill \\ 2m + 1 > 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m < - 2 \hfill \\ m > 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .
Hàm số nào dưới đây không có cực trị?
-
A.
\(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}\)
-
B.
\(y = {x^2}\)
-
C.
\(y = {x^3} - 3x\)
-
D.
\(y = - {x^4}\)
Đáp án : A
Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) không có cực trị.
Dễ thấy hàm số \(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}\) là hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất nên không có cực trị.
Ngoài ra, có thể kiểm tra được các cực trị của mỗi hàm số được cho ở ba đáp án B, C, D.
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào không đồng biến trên $R?$
-
A.
\(y = \sin x - 3x\)
-
B.
\(y = \cos x + 2x\)
-
C.
\(y = {x^3}\)
-
D.
\(y = {x^5}\)
Đáp án : A
+) Xét các hàm số theo từng đáp án.
+) Hàm số nào có $y' \ge 0$ với mọi $x \in R$ thì hàm số đó đồng biến trên R.
+) Xét đáp án A:$y = \sin x - 3x$ có: $y' = \cos x - 3.$
Với $\forall {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in R$ ta có: $ - 1 \le \cos x \le 1 \Rightarrow y' = {\rm{cosx\;}} - 3 < 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \in R \Rightarrow $ hàm số nghịch biến trên $R.$
Vậy hàm số ở đáp án A không đồng biến trên $R$.
+) Xét đáp án B: $y = \cos x + 2x$ có: $y' = {\rm{\;}} - \sin x + 2.$
Với $\forall {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in R$ ta có: $ - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow y' = {\rm{\;}} - \sin x + 2 > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \in R$
Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$
+) Xét đáp án C: $y'=3x^2\ge 0, \forall x$ nên hàm số đồng biến trên $R$.
+) Xét đáp án D: $y'=5x^4\ge 0, \forall x$ nên hàm số đồng biến trên $R$.
Vậy chỉ có hàm số ở đáp án A không đồng biến trên $R$.
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $R$ có bảng biến thiên:
Bảng biến thiên trên là bảng biến thiên của hàm số nào?
-
A.
$y = {x^3} + 2{x^2} - 5$
-
B.
$y = {x^4} + 2{x^2} - 3$
-
C.
$y = - {x^3} + 3{x^2} - 1$
-
D.
$y = - {x^3} - 3{x^2} - 1$
Đáp án : C
- Nhận xét dáng đồ thị suy ra hàm bậc ba và hệ số $a$.
- Tìm điểm đi qua và thay vào các đáp án.
Nhận xét: Dễ thấy bảng biến thiên của đồ thị hàm số bậc 3 nên loại đáp án B.
Ngoài cùng bên phải của $y< 0 \Rightarrow a < 0$ nên loại đáp án A.
Thay lần lượt hai điểm $\left( {0;\, - 1} \right)$ và $\left( {2;\,3} \right)$ vào 2 hàm số còn lại.
Thay $x = 0$ vào cả hai hàm số $y = - {x^3} + 3{x^2} - 1$ và $y = - {x^3} - 3{x^2} - 1$ ta thu được $y = - 1$ $ \Rightarrow \left( {0;\, - 1} \right)$ đều thuộc vào 2 đồ thị hàm số $y = - {x^3} + 3{x^2} - 1$ và $y = - {x^3} - 3{x^2} - 1$
Thay $x = 2$ vào hàm số $y = - {x^3} + 3{x^2} - 1$ ta được $ y = 3 \Rightarrow \left( {2;\,3} \right)$ thuộc vào đồ thị hàm số $y = - {x^3} + 3{x^2} - 1$.
Thay $x = 2$ vào hàm số $y = - {x^3} - 3{x^2} - 1$ ta được $y = - 21$ $ \Rightarrow \left( {2;\,3} \right)$ không thuộc vào đồ thị hàm số $y = - {x^3} - 3{x^2} - 1$.
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = {x^3} - 2m{x^2} + {m^2}x + 2$ đạt cực tiểu tại $x=1$.
-
A.
$m = 3$
-
B.
$m = 1 \vee m = 3$
-
C.
$m = - 1$
-
D.
$m = 1$
Đáp án : D
- Bước 1: Tính $y',y''$.
- Bước 2: Nêu điều kiện để $x = {x_0}$ là cực trị của hàm số:
+ $x = {x_0}$ là điểm cực đại nếu $\left\{ \begin{gathered} f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \hfill \\ f''\left( {{x_0}} \right) < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
+ $x = {x_0}$ là điểm cực tiểu nếu $\left\{ \begin{gathered}f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \hfill \\ f''\left( {{x_0}} \right) > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
- Bước 3: Kết luận.
TXĐ: $D = R$
Ta có: $y' = 3{x^2} - 4mx + {m^2} \Rightarrow y'' = 6x - 4m$
Để $x = 1$ là điểm cực tiểu của hàm số thì:
$\left\{ \begin{gathered}y'\left( 1 \right) = 0 \hfill \\y''\left( 1 \right) > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {m^2} - 4m + 3 = 0 \hfill \\ 6 - 4m > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}m = 1;m = 3 \hfill \\m < \dfrac{3}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = 1.$
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\left( {a;b} \right)$. Nếu $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ âm sang dương qua điểm ${x_0}$ thuộc \((a;b)\) thì
-
A.
${x_0}$ là điểm cực đại của hàm số.
-
B.
${x_0}$ là điểm cực tiểu của hàm số
-
C.
${x_0}$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
-
D.
${x_0}$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Đáp án : B
Nếu $\left\{ \begin{gathered}f'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {{x_0} - h} \right) \hfill \\f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {{x_0} + h} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ thì ${x_0}$ là một điểm cực tiểu của hàm số.
Nếu $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ âm sang dương qua điểm ${x_0}$ thì ${x_0}$ là điểm cực tiểu của hàm số.
Các đồ thị hàm số $y = {x^4} - 2{x^2} + 2$ và $y = - {x^2} + 4$ có tất cả bao nhiêu điểm chung?
-
A.
$4$
-
B.
$1$
-
C.
$0$
-
D.
$2$
Đáp án : D
- Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.
- Giải phương trình tìm nghiệm và kết luận.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là:
$\begin{gathered}{x^4} - 2{x^2} + 2 = - {x^2} + 4 \Leftrightarrow {x^4} - {x^2} - 2 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {x^2} = - 1 < 0(L) \hfill \\ {x^2} = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} $
Như vậy hai đồ thị có $2$ giao điểm.
Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\left[ {0;2} \right]$ và có GTNN trên đoạn đó bằng $5$. Chọn kết luận đúng:
-
A.
$f\left( 0 \right) < 5$
-
B.
$f\left( 2 \right) \geqslant 5$
-
C.
$f\left( 1 \right) = 5$
-
D.
$f\left( 0 \right) = 5$
Đáp án : B
GTNN của $f\left( x \right)$ trên $\left[ {0;2} \right]$ bằng $5$ nên $f\left( x \right) \geqslant 5,\forall x \in \left[ {0;2} \right] \Rightarrow f\left( 2 \right) \geqslant 5$.
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng:
-
A.
Hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ;2} \right)$
-
B.
Hàm số nghịch biến trên $\left( { - 2;0} \right)$
-
C.
$f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in R$
-
D.
Hàm số đồng biến trên $\left( {0;3} \right)$
Đáp án : C
Quan sát bảng biến thiên và nhận xét các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số và rút ra kết luận.
Định lý: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và có đạo hàm trên $K$.
a) Nếu $f'\left( x \right) > 0,\forall x \in K$ thì hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $K$.
b) Nếu $f'\left( x \right) < 0,\forall x \in K$ thì hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $K$.
A, B sai vì hàm số chỉ nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( {0;2} \right)$
D sai vì hàm số chỉ đồng biến trên khoảng $\left( { - 2;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$
C đúng vì giá trị thấp nhất của y trên bảng biến thiên là 0.
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $\left[ { - \dfrac{\pi }{2}; - \dfrac{\pi }{3}} \right]$ lần lượt là
-
A.
$ - \dfrac{1}{2}; - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$
-
B.
$ - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}; - 1$
-
C.
$ - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}; - 2$
-
D.
$ - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}; - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$
Đáp án : B
+) Tính đạo hàm y' và giải phương trình $y' = 0$ tìm các nghiệm ${x_i}.$
+) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;\;b} \right],$ ta tính các giá trị $y\left( a \right);\;y\left( {{x_i}} \right);\;\;y\left( b \right)$ và đưa ra kết luận đúng.
Ta có $y' = \cos x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
Do $x\in \left[ { - \dfrac{\pi }{2}; - \dfrac{\pi }{3}} \right]$ nên $k=-1$ hay $x=-\dfrac{\pi }{2}$
Suy ra $y\left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) = - 1;\;\;y\left( { - \dfrac{\pi }{3}} \right) = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\rm{\;}}&{\mathop {\max}\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2}; - \frac{\pi }{3}} \right]}y = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}\\{{\rm{ \;}}}&{\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2}; - \frac{\pi }{3}} \right]} y = - 1}\end{array}} \right.$
Hàm số $y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ, chọn kết luận đúng:
-
A.
$a > 0$
-
B.
$a < 0$
-
C.
$a = 0$
-
D.
$a \leqslant 0$
Đáp án : A
Quan sát đồ thị ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty $ nên $a > 0$.
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
-
A.
Hàm số đạt cực đại tại $x = 3$
-
B.
GTNN của hàm số bằng giá trị cực tiểu của hàm số.
-
C.
Hàm số không có GTNN.
-
D.
Hàm số có GTLN là $3$.
Đáp án : B
Xét tính đúng, sai của từng đáp án. Sử dụng các định nghĩa GTLN, GTNN, giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số.
Đáp án A: Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và $y = 3$ là giá trị cực đại của hàm số nên A sai.
Đáp án B: GTNN và giá trị cực tiểu của hàm số là $y = 0$ nên B đúng và C sai.
Đáp án D: Hàm số không có GTLN vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty $.
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên trên khoảng $\left( {0;2} \right)$ như sau:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng:
-
A.
Trên $\left( {0;2} \right)$, hàm số không có cực trị
-
B.
Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$
-
C.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$
-
D.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$
Đáp án : B
Quan sát bảng biến thiên và rút ra nhận xét dựa trên các khái niệm cực đại, cực tiểu.
A sai vì trên đoạn $\left( {0;2} \right)$ vẫn có cực trị tại $x = 1$.
Hàm số đạt cực đại tại $x=1$ nên B đúng.
C sai vì hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ không phải cực tiểu
D sai vì đạo hàm không đổi dấu qua $x = 0$
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm trên \(R\). Chọn kết luận đúng:
-
A.
Nếu \(f'\left( x \right) > 0,\forall x \in R\) thì hàm số đồng biến trên \(R\).
-
B.
Nếu \(f'\left( x \right) < 0,\forall x \in R\) thì hàm số đồng biến trên \(R\).
-
C.
Nếu \(f'\left( x \right) = 0,\forall x \in R\) thì hàm số nghịch biến trên \(R\).
-
D.
Nếu \(f'\left( x \right) = 0,\forall x \in R\) thì hàm số đồng biến trên \(R\).
Đáp án : A
Sử dụng định lý: “Nếu \(f'\left( x \right) > 0,\forall x \in K\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(K\)”.
Đáp án A: Nếu \(f'\left( x \right) > 0,\forall x \in R\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(R\) nên A đúng.
Đáp án B: Nếu \(f'\left( x \right) < 0,\forall x \in R\) thì hàm số nghịch biến trên \(R\) nên B sai.
Đáp án C, D: Nếu \(f'\left( x \right) = 0,\forall x \in R\) thì hàm số không đổi trên \(R\) nên C, D sai.
Cho hàm số \(y = \dfrac{{2018}}{{x - 2}}\) có đồ thị \(\left( H \right).\) Số đường tiệm cận của \(\left( H \right)\) là:
-
A.
\(2.\)
-
B.
\(0.\)
-
C.
\(3.\)
-
D.
\(1.\)
Đáp án : A
Dựa vào định nghĩa tính giới hạn tìm tiệm cận của đồ thị hàm số
+) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = a \Rightarrow y = a\) là TCN của đồ thị hàm số.
+) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} y = \infty {\rm{\;}} \Rightarrow x = {x_0}\) là TCĐ của đồ thị hàm số.
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt} \to {\kern 1pt} \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt} \to {\kern 1pt} \infty } \dfrac{{2018}}{{x - 2}} = 0 \Rightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Và \(\mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt} \to {\kern 1pt} 2} y = \mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt} \to {\kern 1pt} 2} \dfrac{{2018}}{{x - 2}} = \infty {\rm{\;}} \Rightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có \(2\) đường tiệm cận.
Hàm số $y = - {x^4} - 2{x^2} + 3$ nghịch biến trên:
-
A.
$\left( { - \infty ;0} \right)$
-
B.
$\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {0;1} \right)$
-
C.
$R$
-
D.
$\left( {0; + \infty } \right)$
Đáp án : D
- Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.
- Bước 2: Tính đạo hàm $f'\left( x \right)$, tìm các điểm ${x_1},{x_2},...,{x_n}$ mà tại đó đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.
- Bước 3: Xét dấu đạo hàm và nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
+ Các khoảng mà $f'\left( x \right) > 0$ là các khoảng đồng biến của hàm số.
+ Các khoảng mà $f'\left( x \right) < 0$ là các khoảng nghịch biến của hàm số.
TXĐ: $R$.
Ta có:
\(y'=-4x^3-4x=-4x(x^2+1)\)
\(\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.
Cho hàm số $y = {x^4} - 2m{x^2} + 3m + 2.$ Tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số có $3$ điểm cực trị tạo thành tam giác đều là:
-
A.
$m = \sqrt[3]{3}$
-
B.
$m = 0$
-
C.
$m = - \sqrt[3]{3}$
-
D.
$m = 3$
Đáp án : A
- Bước 1: Tính $y'$. Điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị là phương trình y'=0 có 3 nghiệm phân biệt
- Bước 2: Tìm tọa độ ba điểm cực trị đó. Giả sử ba điểm cực trị lần lượt là $A,B,C$ trong đó $A\left( {0;c} \right)$ (Hàm bậc bốn trùng phương luôn có một điểm cực trị có hoành độ bằng 0). Khi đó tam giác ABC đều $ \Leftrightarrow AB = BC =CA$
- Bước 3: Kết luận.
\(\begin{array}{l}y' = 4{x^3} - 4mx\\y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt m \,\, (1)\end{array} \right.\end{array}\)
Hàm số \(y=f(x)\) có 3 cực trị
\( \Leftrightarrow y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow (1){\rm{\;}}\) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
\( \Leftrightarrow \) \(m > 0\).
Gọi 3 điểm cực trị của hàm số lần lượt là \(A(0;a);B(-\sqrt m;b);C(\sqrt m;c)\). Khi đó:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{ + )x = 0 \Rightarrow A\left( {0;3m + 2} \right)}\\
{ + )x = - \sqrt m {\rm{\;}} \Rightarrow y = {{\left( { - \sqrt m } \right)}^4} - 2m.{{\left( { - \sqrt m } \right)}^2} + 3m + 2}\\
{ = {m^2} - 2{m^2} + 3m + 2}\\
{ = {\rm{\;}} - {m^2} + 3m + 2 \Rightarrow B\left( { - \sqrt m ; - {m^2} + 3m + 2} \right)}\\
{ + )x = \sqrt m {\rm{\;}} \Rightarrow y=- {m^2} + 3m + 2\\ \Rightarrow C\left( {\sqrt m ; - {m^2} + 3m + 2} \right)}
\end{array}\)
Ta luôn có $AB=AC$ nên tam giác $ABC$ đều
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow AB = BC \Leftrightarrow A{B^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow {\left( { - \sqrt m } \right)^2} + {\left( { - {m^2}} \right)^2} = {\left( {2\sqrt m } \right)^2} + {0^2}\\ \Leftrightarrow m + {m^4} = 4m\\ \Leftrightarrow {m^4} - 3m = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {{m^3} - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = \sqrt[3]{3}\end{array} \right.\end{array}\)
Kết hợp điều kiện \(m > 0 \Rightarrow m = \sqrt[3]{3}\)
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = {x^3} - 5{{\text{x}}^2} + 3{\text{x}} - 1$ trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$
-
A.
$M = - 10$
-
B.
$M = - 7$
-
C.
$M = - 5$
-
D.
$M = 1$
Đáp án : C
- Bước 1: Tính $y'$, giải phương trình $y' = 0$ tìm các nghiệm ${x_1},{x_2},...{x_n}$ thỏa mãn $a \leqslant {x_1} < {x_2}< ... < {x_n} \leqslant b$.
- Bước 2: Tính các giá trị $f\left( a \right),f\left( {{x_1}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( b \right)$.
- Bước 3: So sánh các giá trị tính được ở trên và kết luận:
+ Giá trị lớn nhất tìm được trong số các giá trị ở trên là GTLN $M$ của hàm số trên $\left[ {a;b} \right]$.
+ Giá trị nhỏ nhất tìm được trong số các giá trị ở trên là GTNN $m$ của hàm số trên $\left[ {a;b} \right]$.
$y' = 3{x^2} - 10x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x = 3 \in \left[ {2;4} \right] \hfill \\x = \dfrac{1}{3} \notin \left[ {2;4} \right] \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$f\left( 2 \right) = - 7,f\left( 3 \right) = - 10,f\left( 4 \right) = - 5$
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $y = {x^3} - 5{{\text{x}}^2} + 3{\text{x}} - 1$ trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$ là $M = - 5$
Đồ thị hàm số $y = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}$ có bao nhiêu đường tiệm cận ngang:
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
$3$
Đáp án : C
- Bước 1: Tính cả hai giới hạn$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y$.
- Bước 2: Kết luận:
Đường thẳng $y = {y_0}$ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ nếu nó thỏa mãn một trong 2 điều kiện sau: $\left[ \begin{gathered}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = {y_0} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = {y_0} \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} $ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{1}{{\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} = 1$
$ \Rightarrow y = 1$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} $ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{x}{{ - x\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} = - 1$
$ \Rightarrow y = - 1$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Cho các dạng đồ thị (I), (II), (III) như hình dưới đây:
Liệt kê tất cả các dạng có thể biểu diễn đồ thị hàm số \(y = {x^3} + b{x^2} - x + d\).
-
A.
(I)
-
B.
(I) và (II)
-
C.
(III)
-
D.
(I) và (IIII)
Đáp án : A
Nhận xét hệ số \(a\) của hàm số suy ra dáng đồ thị, tính \(y'\) suy ra số cực trị và kết luận.
Hàm số \(y = {x^3} + b{x^2} - x + d\) có hệ số của \({x^3}\) dương nên loại (II).
Xét \(y' = 3{x^2} + 2bx - 1\) có \(\Delta ' = {b^2} + 3 > 0,\forall b \in \mathbb{R}\).
Do đó hàm số có hai cực trị.
Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{ax + 2}}{{cx + b}}$ như hình vẽ bên.
Chọn khẳng định đúng:
-
A.
$a = 2;\,b = 2;\,c = - 1$
-
B.
$a = 1;b = 1;c = - 1$
-
C.
$a = 1;\,b = 2;\,c = 1$
-
D.
$a = 1;\,b = - 2;\,c = 1$
Đáp án : D
- Quan sát đồ thị, tìm các điểm đi qua của đồ thị hàm số.
- Tìm các tiệm cận đứng, ngang của đồ thị hàm số.
Ta có đồ thị hàm số$y = \dfrac{{ax + 2}}{{cx + b}}$ đi qua điểm có tọa độ $\left( {0; - 1} \right)$
Thay $x = 0;\,y = - 1$ vào hàm số ta được $ - 1 = \dfrac{{a.0 + 2}}{{c.0 + b}} \Rightarrow b = - 2$
Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{ax + 2}}{{cx - 2}}$ có
$\left\{ \begin{align} & \xrightarrow{TCD}x=\dfrac{2}{c}=2\Rightarrow c=1 \\ & \xrightarrow{TCN}y=\dfrac{a}{c}=\dfrac{a}{1}=1\Rightarrow a=1 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow a=1;\,b=-2;\,c=1$
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $y = - 2x + m$ cắt đồ thị $(H)$ của hàm số $y = \dfrac{{2x + 3}}{{x + 2}}$ tại hai điểm$A,{\text{ }}B$ phân biệt sao cho $P = k_1^{2018} + k_2^{2018}$ đạt giá trị nhỏ nhất (với ${k_1},{k_2}$ là hệ số góc của tiếp tuyến tại $A,{\text{ }}B$ của đồ thị $(H)$.
-
A.
$m = - 3$
-
B.
$m = - 2$
-
C.
$m = 3$
-
D.
$m = 2$
Đáp án : B
+ Tính \(y'\).
+ Tìm điều kiện để đường thẳng $d$ cắt $\left( H \right)$ tại 2 điểm phân biệt.
+ Đánh giá và tìm GTNN của biểu thức \(P = k_1^{2018} + k_2^{2018}\) sử dụng bất đẳng thức Cô-si với \({k_1},{k_2}\) là hệ số góc của tiếp tuyến tại hai giao điểm của hai đồ thị hàm số.
+ Tìm điều kiện để $d$ đi qua giao điểm $I$ của $2$ đường tiệm cận của $\left( H \right)$.
Ta có: \(y' = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $d$ đã cho và $\left( H \right)$.
$\begin{array}{l} - 2x + m = \dfrac{{2x + 3}}{{x + 2}}\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( { - 2x + m} \right) = 2x + 3\\ \Leftrightarrow - 2{x^2} + \left( {m - 4} \right)x + 2m = 2x + 3\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {6 - m} \right)x + 3 - 2m = 0{\rm{ }}\left( * \right)\end{array}$
$d$ cắt $\left( H \right)$ tại 2 điểm phân biệt $ \Leftrightarrow $ Phương trình (*) có $2$ nghiệm phân biệt khác \( - 2\)
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( {6 - m} \right)^2} - 8\left( {3 - 2m} \right) > 0\\2.{\left( { - 2} \right)^2} + \left( {6 - m} \right).\left( { - 2} \right) + 3 - 2m \ne 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 4m + 12 > 0\\ - 1 \ne 0\end{array} \right.$
(luôn đúng)
Gọi hoành độ giao điểm hai điểm \(A,B\) lần lượt là \({x_1},{x_2}\), khi đó:\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{m - 6}}{2}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{{3 - 2m}}{2}\end{array} \right.\)
Ta có:
\({k_1}.{k_2} = \dfrac{1}{{{{\left( {{x_1} + 2} \right)}^2}}}.\dfrac{1}{{{{\left( {{x_2} + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left[ {\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right)} \right]}^2}}}\)
\( = \dfrac{1}{{{{\left[ {{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4} \right]}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left[ {\dfrac{{3 - 2m}}{2} + 2.\dfrac{{m - 6}}{2} + 4} \right]}^2}}}\)
\( = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{3 - 2m + 2m - 12 + 8}}{2}} \right)}^2}}} = 4\)
Khi đó \(P = k_1^{2018} + k_2^{2018} \ge 2{\left| {{k_1}{k_2}} \right|^{1009}} = {2.4^{1009}} = {2^{2019}}\).
Dấu “=” xảy ra khi \({k_1} = {k_2} = 2\) hay hai tiếp tuyến tại hai giao điểm song song.
Điều này chỉ xảy ra khi hai giao điểm này đối xứng với nhau qua tâm đối xứng \(I\) của đồ thị \(\left( H \right)\) hay \(d\) đi qua \(I\left( { - 2;2} \right)\) là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
\( \Leftrightarrow I \in d \Leftrightarrow 2 = -2.\left( {-2} \right) + m \Leftrightarrow m = -2\)
Cho $(C)$ là đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$. Tìm các điểm trên $(C)$ sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất:
-
A.
$\left( 1;1 \right)$
-
B.
$\left( {2 + \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 } \right)$ và $\left( {2 - \sqrt 3 ;1 - \sqrt 3 } \right)$
-
C.
$\left( {1 - \sqrt 3 ;1 - \sqrt 3 } \right)$
-
D.
$\left( {1 + \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 } \right)$
Đáp án : B
- Gọi điểm $M$ có tọa độ thỏa mãn phương trình hàm số.
- Tìm phương trình hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
- Sử dụng công thức tính khoảng cách để tính tổng khoảng cách của điểm $M$ đến hai tiệm cận.
- Tìm GTNN của biểu thức ở trên, từ đó suy ra $m$.
Gọi $M\left( {m;\dfrac{{m + 1}}{{m - 2}}} \right) \in \left( C \right)\,\left( {m \ne 2} \right)$. Tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận $x = 2 $ và $y = 1$ là
$S = \left| {m - 2} \right| + \left| {\dfrac{{m + 1}}{{m - 2}} - 1} \right| = \left| {m - 2} \right| + \dfrac{3}{{\left| {m - 2} \right|}} \geqslant 2\sqrt {\left| {m - 2} \right|.\dfrac{3}{{\left| {m - 2} \right|}}} = 2\sqrt 3 $
Dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow \left| {m - 2} \right| = \dfrac{3}{{\left| {m - 2} \right|}} \Leftrightarrow \left| {m - 2} \right| = \sqrt 3 \Leftrightarrow m = 2 \pm \sqrt 3 $
Vậy có 2 điểm thỏa mãn bài toán là ${M_1}\left( {2 + \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 } \right),{M_2}\left( {2 - \sqrt 3 ;1 - \sqrt 3 } \right)$
Cho các số thực $x, y$ thỏa mãn ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + 2xy \leqslant 32.$ Giá trị nhỏ nhất $m$ của biểu thức $A = {x^3} + {y^3} + 3\left( {xy - 1} \right)\left( {x + y - 2} \right)$ là:
-
A.
$m = 16$
-
B.
$m = 0$
-
C.
$m = \dfrac{{17 - 5\sqrt 5 }}{4}$
-
D.
$m = 398$
Đáp án : C
Giải bất phương trình ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + 2xy \leqslant 32$ với ẩn $x + y$ để tìm điều kiện của $x + y$.
Biến đổi biểu thức $A$ thành đa thức bậc ba ẩn $x + y$, đặt ẩn phụ $t = x + y$ rồi xét hàm số, chú ý điều kiện $x + y$ tìm được ở trên.
${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + 2xy \leqslant 32 $ $\Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 8\left( {x + y} \right) \leqslant 0 $ $\Leftrightarrow 0 \leqslant x + y \leqslant 8$
$A = {\left( {x + y} \right)^3} - 3\left( {x + y} \right) - 6xy + 6 $ $\geqslant {\left( {x + y} \right)^3} - \dfrac{3}{2}{\left( {x + y} \right)^2} - 3\left( {x + y} \right) + 6$
(do ${\left( {x + y} \right)^2} \geqslant 4xy $ $\Rightarrow xy \leqslant \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} $ $\Rightarrow - 6xy \geqslant - \dfrac{3}{2}{\left( {x + y} \right)^2}$ )
Xét hàm số $f\left( t \right) = {t^3} - \dfrac{3}{2}{t^2} - 3t + 6$ trên đoạn $\left[ {0,8} \right]$, ta có
$f'\left( t \right) = 3{t^2} - 3t - 3,f'\left( t \right) = 0 $ $\Leftrightarrow t = \dfrac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}$
(giá trị $\dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2} \notin \left[ {0;8} \right]$ nên loại)
Thực hiện tính toán ta có: $f\left( 0 \right) = 6,f\left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right) = \dfrac{{17 - 5\sqrt 5 }}{4},f\left( 8 \right) = 398 $
$\Rightarrow A \geqslant f\left( t \right) \geqslant \dfrac{{17 - 5\sqrt 5 }}{4} \Rightarrow A \geqslant \dfrac{{17 - 5\sqrt 5 }}{4}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ là $\dfrac{{17 - 5\sqrt 5 }}{4}$ xảy ra khi $\left\{ \begin{gathered} x + y = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2} \hfill \\ x = y \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = y = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{4}$
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục và có đạo hàm cấp hai trên $R$. Đồ thị của các hàm số $y = f(x),y = f'(x),y = f''(x)$ lần lượt là các đường cong nào trong hình vẽ bên.
-
A.
$\left( {{C_3}} \right),\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right)$
-
B.
$\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right),\left( {{C_3}} \right)$
-
C.
$\left( {{C_3}} \right),\left( {{C_2}} \right),\left( {{C_1}} \right)$
-
D.
$\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_3}} \right),\left( {{C_2}} \right)$
Đáp án : B
Sau mỗi lần đạo hàm hàm đa thức thì bậc của hàm số giảm đi $1$ đơn vị.
Từ đồ thị ta thấy $(C_1)$ là đồ thị của hàm bậc bốn; $(C_2)$ là đồ thị của hàm bậc ba; $\left( {{C_3}} \right)$là đồ thị hàm bậc hai (parabol) nên $(C_1)$ là đồ thị của $f(x)$; $\left( {{C_2}} \right)$ là đồ thị của $f'\left( x \right)$; $\left( {{C_3}} \right)$ là đồ thị của $f''\left( x \right)$
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
