Phương pháp giải:

+) Từ BBT của hàm số \(f'\left( x \right)\) ta suy ra BBT của hàm số \(f\left( x \right)\).

+) Đánh giá \( - 1 + f\left( {2x} \right) \le g\left( x \right) \le f\left( {2x} \right)\). Dựa vào BBT hàm số \(f\left( x \right)\) xác định giá trị lớn nhất của \(f\left( {2x} \right)\,\,\forall x \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Lời giải chi tiết:

Từ BBT của hàm số \(f'\left( x \right)\) ta suy ra BBT của hàm số \(f\left( x \right)\) như sau:

Ta có \(g\left( x \right) = f\left( {2x} \right) - {\sin ^2}x\).

Do \(0 \le {\sin ^2}x \le 1 \Leftrightarrow  - 1 \le  - {\sin ^2}x \le 0 \Leftrightarrow  - 1 + f\left( {2x} \right) \le g\left( x \right) \le f\left( {2x} \right)\).

Vì \(x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow 2x \in \left[ { - 2;2} \right] \Rightarrow f\left( {2x} \right) \le f\left( 0 \right)\,\,\forall x \in \left[ { - 2;2} \right]\).

\( \Rightarrow g\left( x \right) \le f\left( 0 \right)\).

Chọn B.