Phương pháp giải:

Hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) đạt cực đại tại điểm \(x = {x_0}\) nếu \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) < 0\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(y = f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {{m^2} - m + 1} \right)x + 1\)

Ta có: \(f'\left( x \right) = {x^2} - 2mx + {m^2} - m + 1\); \(f''\left( x \right) = 2x - 2m\).

Hàm số  đạt cực đại tại \(x = 1\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( 1 \right) = 0\\f''\left( 1 \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{1^2} - 2m.1 + {m^2} - m + 1 = 0\\2.1 - 2m < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m + 2 = 0\\2 - 2m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.\\m > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\).

Chọn D.