Phương pháp giải:

- Tính \(g'\left( x \right)\).

- Vẽ đường thẳng \(y = x - 1\) trên cùng mặt phẳng tọa độ với \(f'\left( x \right)\).

- Dựa vào mối quan hệ diện tích hình phẳng nhận xét các giá trị \(g\left( 1 \right),g\left( 3 \right),g\left( { - 3} \right)\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(g'\left( x \right) = 2f'\left( x \right) - 2\left( {x - 1} \right) = 2\left[ {f'\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right]\).

Vẽ đường thẳng \(y = x - 1\) ta thấy,

Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) cắt đường thẳng \(y = x - 1\) tại ba điểm có hoành độ lần lượt là \( - 3;1;3\) nên hàm số chỉ có thể đạt GTNN tại một trong ba điểm này.

Ta có:

+) \(g\left( 1 \right) - g\left( { - 3} \right) = \int\limits_{ - 3}^1 {g'\left( x \right)dx}  = 2\int\limits_{ - 3}^1 {\left[ {f'\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right]dx} \)

Do trong khoảng \(\left( { - 3;1} \right)\) thì đồ thị \(y = f'\left( x \right)\) nằm phía trên đường thẳng \(y = x - 1\) nên \(\int\limits_{ - 3}^1 {\left[ {f'\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right]dx}  > 0\) hay \(g\left( 1 \right) - g\left( { - 3} \right) > 0 \Leftrightarrow g\left( { - 3} \right) < g\left( 1 \right)\).

+) \(g\left( 3 \right) - g\left( 1 \right) = \int\limits_1^3 {g'\left( x \right)dx}  = 2\int\limits_1^3 {\left[ {f'\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right]dx} \)

Do trong khoảng \(\left( {1;3} \right)\) thì đồ thị \(y = f'\left( x \right)\) nằm phía dưới đường thẳng \(y = x - 1\) nên \(\int\limits_{ - 3}^1 {\left[ {f'\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right]dx}  < 0\) hay \(g\left( 1 \right) - g\left( { - 3} \right) < 0 \Leftrightarrow g\left( 1 \right) > g\left( 3 \right)\).

Từ đó suy ra \(g\left( 1 \right)\) là GTLN của hàm số.

Lại có \(g\left( 1 \right) - g\left( { - 3} \right) = {S_1} > {S_2} = g\left( 1 \right) - g\left( 3 \right)\) nên \(g\left( { - 3} \right) < g\left( 3 \right)\).

Vậy \(g\left( { - 3} \right) < g\left( 3 \right) < g\left( 1 \right)\) nên GTNN của hàm số là \(g\left( { - 3} \right)\).

Chọn C.