Phương pháp giải:

- Biến đổi \(MA = 3MB \Leftrightarrow {\overrightarrow {MA} ^2} - 9{\overrightarrow {MB} ^2} = 0\).

- Tìm điểm \(I\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA}  = 9\overrightarrow {IB} \).

- Xen điểm \(I\) vào đẳng thức \({\overrightarrow {MA} ^2} - 9{\overrightarrow {MB} ^2} = 0\) và tính \(MI\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(MA = 3MB \Leftrightarrow M{A^2} - 9M{B^2} = 0\) \( \Leftrightarrow {\overrightarrow {MA} ^2} - 9{\overrightarrow {MB} ^2} = 0\).

Ta tìm điểm \(I\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA}  - 9\overrightarrow {IB}  = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {IA}  = 9\overrightarrow {IB} \).

Đặt \(IB = x \Rightarrow IA = 9x\) \( \Rightarrow 4 = AB = IA - IB = 9x - x = 8x \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\).

Do đó \(IA = \dfrac{9}{2},IB = \dfrac{1}{2}\).

Khi đó \({\overrightarrow {MA} ^2} - 9{\overrightarrow {MB} ^2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} - 9{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2} = 0\) \( \Leftrightarrow M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA}  + I{A^2} - 9\left( {M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB}  + I{B^2}} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow M{I^2} + I{A^2} - 9M{I^2} - 9I{B^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA}  - 9\overrightarrow {IB} } \right) = 0\) \( \Leftrightarrow  - 8M{I^2} + I{A^2} - 9I{B^2} = 0\)

\( \Rightarrow  - 8M{I^2} + {\left( {\dfrac{9}{2}} \right)^2} - 9.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow  - 8M{I^2} =  - 18 \Leftrightarrow M{I^2} = \dfrac{9}{4} \Leftrightarrow MI = \dfrac{3}{2}\).

Vậy \(M\) nằm trên mặt cầu tâm \(I\) bán kính \(MI = \dfrac{3}{2}\).

Chọn D.