Phương pháp giải:

+) Gọi \(S\) là đỉnh hình nón và \(O\) là tâm đường tròn đáy của hình nón. Giả sử \(\left( P \right)\) cắt nón theo thiết diện là tam giác \(SAB\).

+) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), tính \(SM\), từ đó tính \({S_{SAB}}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(S\) là đỉnh hình nón và \(O\) là tâm đường tròn đáy của hình nón.

Giả sử \(\left( P \right)\) cắt nón theo thiết diện là tam giác \(SAB\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OM\\AB \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow AB \bot SM\).

Trong tam giác vuông \(OBM\) ta có: \(OM = \sqrt {O{B^2} - M{B^2}}  = \sqrt {{3^2} - {1^2}}  = \sqrt 8 \).

Trong tam giác vuông \(SOM\) ta có: \(SM = \sqrt {S{O^2} + O{M^2}}  = \sqrt {{4^2} + 8}  = 2\sqrt 6 \).

Vậy \({S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2}SM.AB = \frac{1}{2}.2\sqrt 6 .2 = 2\sqrt 6 \).

Chọn C.