Phương pháp giải:

Thể tích khối lăng trụ có chiều cao \(h\) và diện tích đáy \(S\) là \(V = h.S\)

Tính toán các cạnh dựa vào định lý Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác vuông \(ABC\) có:

\(BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{2^2} - {1^2}}  = \sqrt 3 \)  và

 \(A{B^2} = AH.AC \Rightarrow AH = \frac{{A{B^2}}}{{AC}} = \frac{1}{2}\)

Vì \(A'H \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow A'H \bot AC\)

Xét tam giác vuông \(AA'H\) có \(A'H = \sqrt {A{{A'}^2} - A{H^2}}  = \sqrt {2 - \frac{1}{4}}  = \frac{{\sqrt 7 }}{2}\)

Thể tích khối lăng trụ là \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'H.{S_{ABC}} = \frac{{\sqrt 7 }}{2}.\frac{{AB.BC}}{2} = \frac{{\sqrt 7 }}{2}.\frac{{1.\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt {21} }}{4}.\)

Chọn C.