Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhị thức Newton \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\,\,\left( {n \ge k \ge 0;n,k \in \mathbb{N}} \right)} \)

Sử dụng số các chữ số \(M\)  trong hệ thập phân  là \(\left[ {\log M} \right] + 1\) với \(\left[ {\log M} \right]\) là phần nguyên của \(\log M\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \({\left( {1 + x} \right)^{2019}} = \sum\limits_{k = 0}^{2019} {C_{2019}^k.{x^k}} \)

Với \(x = 1\) thì ta có \(\sum\limits_{k = 0}^{2019} {C_{2019}^k}  = {\left( {1 + 1} \right)^{2019}} \Leftrightarrow C_{2019}^0 + C_{2019}^1 + C_{2019}^2 + ... + C_{2019}^{2019} = {2^{2019}} \Leftrightarrow M = {2^{2019}}\)

Viết số \(M = {2^{2019}}\) dưới dạng số thập phân thì có số các chữ số là:

\(\left[ {\log M} \right] + 1 = \left[ {\log {2^{2019}}} \right] + 1 = \left[ {2019.\log 2} \right] + 1 = 607 + 1 = 608\) chữ số.

Chọn B.