Phương pháp giải:

+) Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;\;b} \right]\) bằng cách:

+) Giải phương trình \(y' = 0\) tìm các nghiệm \({x_i}.\)

+) Tính các giá trị \(f\left( a \right),\;f\left( b \right),\;\;f\left( {{x_i}} \right)\;\;\left( {{x_i} \in \left[ {a;\;b} \right]} \right).\)  Khi đó:

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\},\;\;\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\}.\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ne  - {m^2}.\)

Ta có: \(y' = \dfrac{{{m^3} - 1}}{{{{\left( {x + {m^2}} \right)}^2}}}\)

Hàm số bậc nhất trên bậc nhất luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

Ta có \(x \ne  - {m^2} < 0 \Rightarrow x \in \left[ {2;\,3} \right] \Rightarrow \) hàm số luôn xác định với mọi \(m.\)

Có: \(y\left( 2 \right) = \dfrac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}};\,\,\,y\left( 3 \right) = \dfrac{{3m + 1}}{{{m^2} + 3}}\)

TH1: Hàm số đạt GTLN tại \(x = 2   \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' < 0\\y\left( 2 \right) = \dfrac{5}{6}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^3} - 1 < 0\\\dfrac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}} = \dfrac{5}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 1\\5{m^2} - 12m + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 1\\\left[ \begin{array}{l}m = 2\,\,\\m = \dfrac{2}{5}\,\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \dfrac{2}{5}\)

TH2: Hàm số đạt GTLN tại \(x = 3   \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' > 0\\y\left( 3 \right) = \dfrac{5}{6}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^3} - 1 > 0\\\dfrac{{3m + 1}}{{{m^2} + 3}} = \dfrac{5}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\5{m^2} - 18m + 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\\left[ \begin{array}{l}m = 3\,\,\\m = \dfrac{3}{5}\,\,\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 3\\ \Rightarrow T = 3 + \dfrac{2}{5} = \dfrac{{17}}{5}.\end{array}\)

Chọn A.