Phương pháp giải:

Hoành độ giao điểm của đường thẳng d  và đồ thị hàm số (C) là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.

Dựa vào các hoành độ đã biết, tìm được phương trình đường thẳng d từ đó ta xác định được m, n  và tính giá trị của biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Gọi phương trình đường thẳng bài cho là: \(d:\,\,y = ax + b.\)

Đường thẳng  \(d\) cắt đồ thị hàm số \(\left( C \right):\,\,y = {x^4} - 2{x^2}\) tại hai điểm có hoành độ là \(0;\,\,1 \Rightarrow \) tọa độ hai điểm đó là: \(A\left( {0;\,0} \right),\,\,B\left( {1; - 1} \right).\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a.0 + b = 0\\a + b =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow d:\,\,y =  - x.\)

Khi đó ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:

\(\begin{array}{l} - x = {x^4} - 2{x^2} \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^2} + x = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^3} - 2x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\{x^2} + x - 1 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Khi đó \(m,\,\,n\) là hai nghiệm của phương trình \(\left( * \right).\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}m + n =  - 1\\mn =  - 1\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow S = {m^2} + {n^2} = {\left( {m + n} \right)^2} - 2mn = 1 + 2 = 3.\)

Chọn D.