Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\).

Lời giải chi tiết:

\(y = \dfrac{x}{{\sqrt {x + 1} }} + 2mx + {m^2} - 3\). Cho \(x = 0 \Rightarrow \)\(y = {m^2} - 3 \Rightarrow M\left( {0;{m^2} - 3} \right)\)

\(y' = \dfrac{{\sqrt {x + 1}  - x.\dfrac{1}{{2\sqrt {x + 1} }}}}{{x + 1}} + 2m = \dfrac{{x + 2}}{{2\sqrt {x + 1} \left( {x + 1} \right)}} + 2m \Rightarrow y'\left( 0 \right) = 1 + 2m\)

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M song song với đường thẳng \(y = \dfrac{1}{4}x + 5\).

\( \Rightarrow y'\left( 0 \right) = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow 1 + 2m = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow m =  - \dfrac{3}{8}\)

Với \(m =  - \dfrac{3}{8}\), phương trình tiếp tuyến đó là: \(y = \dfrac{1}{4}.\left( {x - 0} \right) + {\left( { - \dfrac{3}{8}} \right)^2} - 3 \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{4}x - \dfrac{{183}}{{64}}\) (thỏa mãn)

Vậy, \(m =  - \dfrac{3}{8}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn: A