Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại \(x = 2.\) 

Hàm số \(y = f\left( x \right)\)  liên tục tại điểm \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).\)  

Lời giải chi tiết:

Hàm số đã cho luôn xác định và liên tục trên  khoảng \(\left( {2; + \infty } \right).\)

Để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số phải liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và liên tục tại \(x = 2\).

Hàm số liên tục trên \(\left( { - \infty ;2} \right) \Leftrightarrow g(x) = {x^2} - 2mx + 3m + 2 \ne 0,{\rm{ }}\forall x < 2\)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} - 3m - 2 \le 0\\g(2) =  - m + 6 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{3 - \sqrt {17} }}{2} \le m \le \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}\\m \ne 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{3 - \sqrt {17} }}{2} \le m \le \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}.\)

TH2: \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 3m - 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}\\m < \frac{{3 - \sqrt {17} }}{2}\end{array} \right.\)

Giả sử đa thức \(g\left( x \right)\) có hai nghiệm \({x_1} < {x_2}.\) Khi đó ta có:

\( \Rightarrow g\left( 2 \right) > 0 \Leftrightarrow 4 - 4m + 3m + 2 > 0 \Leftrightarrow m < 6.\)

\( \Rightarrow \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2} < m < 6\)

\( \Rightarrow \frac{{3 - \sqrt {17} }}{2} \le m < 6\) (*)  thì  \(g(x) \ne 0,{\rm{ }}\forall x < 2\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\sqrt {2x - 4}  + 3} \right) = 3\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 2mx + 3m + 2}} = \frac{3}{{6 - m}}\end{array}\)

Hàm số liên tục tại \(x = 2 \Leftrightarrow \frac{3}{{6 - m}} = 3 \Leftrightarrow m = 5\) (thỏa (*))

Vậy \(m = 5\) là  giá trị cần tìm.

Chọn D.