Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp khảo sát hàm số.

Lời giải chi tiết:

Phương trình \(f\left( {x - 1} \right) = \dfrac{m}{{{x^2} - 6x + 12}}\) có hai nghiệm phân biệt trên đoạn \(\left[ {2;4} \right]\)

\( \Leftrightarrow \) Phương trình \(f\left( x \right) = \dfrac{m}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 3}}\) có hai nghiệm phân biệt trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\)

\( \Leftrightarrow \) Phương trình \(f\left( x \right).\left( {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 3} \right) = m\) có hai nghiệm phân biệt trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \)\(f\left( x \right).\left( {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 3} \right)\) trên \(\left[ {1;3} \right]\)có:

\(g'\left( x \right) = f'\left( x \right).\left( {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 3} \right) + 2\left( {x - 2} \right).f\left( x \right)\) có nghiệm \(x = 2\)

Với \(1 \le x < 2\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) > 0\\{\left( {x - 2} \right)^2} + 3 > 0\\x - 2 < 0\\f\left( x \right) < 0\end{array} \right. \Rightarrow g'\left( x \right) > 0\).

Với \(2 < x \le 3\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) < 0\\{\left( {x - 2} \right)^2} + 3 > 0\\x - 2 > 0\\f\left( x \right) < 0\end{array} \right. \Rightarrow g'\left( x \right) < 0\)

Ta có bảng biến thiên của \(g\left( x \right)\) như sau:

Vậy để phương trình \(f\left( x \right).\left( {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 3} \right) = m\) có hai nghiệm phân biệt trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\)thì \(m \in \left[ { - 12; - 3} \right)\)\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 12; - 11;...; - 4} \right\}\)

Tổng các giá trị của m thỏa mãn là: \( - 12 - 11 - ... - 4 =  - 9.16:2 =  - 72\).

Chọn: B