Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp có chiều cao \(h\) và diện tích đáy \(S\) là \(V = \frac{1}{3}h.S\)

Sử dụng công thức tỉ lệ thể tích : Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(M,N,P\) lần lượt thuộc các cạnh \(SA,SB,SC\). Khi đó  ta có \(\frac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}}.\frac{{SP}}{{SC}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \({V_{OABC}} = \frac{1}{3}OA.{S_{OBC}} = \frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}.2a.3a = {a^3}\)

Lại có \(\frac{{{V_{OCMN}}}}{{{V_{OCAB}}}} = \frac{{OC}}{{OC}}.\frac{{OM}}{{OA}}.\frac{{ON}}{{OB}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)  nên \({V_{OCMN}} = \frac{1}{4}{V_{OCAB}} = \frac{1}{4}.{a^3} = \frac{{{a^3}}}{4}\)

Chọn A.