Phương pháp giải:

+) Đường thẳng \(x = a\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \dfrac{{g\left( x \right)}}{{h\left( x \right)}} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \infty \).

+) Đường thẳng \(y = b\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } f\left( x \right) = b.\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \left( {1; + \infty } \right).\)

Ta có: \(y = \dfrac{{\sqrt {x - 1} }}{{{x^2} - 3x + 2}} = \dfrac{{\sqrt {x - 1} }}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{1}{{\sqrt {x - 1} \left( {x - 2} \right)}}\)

\( \Rightarrow \sqrt {x - 1} \left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right. \Rightarrow \) đồ thị hàm số có hai TCĐ:\(x = 1,\,\,x = 2.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{1}{{\sqrt {x - 1} \left( {x - 2} \right)}} = 0 \Rightarrow y = 0\)  là TCN của đồ thị hàm số.

Chọn A.