Phương pháp giải:

- Xét điều kiện của \(x\) phá dấu giá trị tuyệt đối đưa hàm số về dạng khoảng.

- Tìm các đường tiệm cận của mỗi hàm số có được và kết luận.

Lời giải chi tiết:

\(y = \dfrac{{x + 1}}{{\left| x \right| - 2x + 1}} = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x + 1}}{{ - x + 1}},x \ge 0\\\dfrac{{x + 1}}{{ - 3x + 1}},x < 0\end{array} \right.\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{x + 1}}{{ - x + 1}} =  - 1\) nên \(y =  - 1\) là TCN của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{x + 1}}{{ - 3x + 1}} =  - \dfrac{1}{3}\) nên \(y =  - \dfrac{1}{3}\) là TCN của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x + 1}}{{ - x + 1}} =  + \infty \) nên \(x = 1\) là TCĐ của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{3}} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{3}} \dfrac{{x + 1}}{{ - x + 1}} = 2\) nên \(x = \dfrac{1}{3}\) không là TCĐ của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số chỉ có \(3\) đường tiệm cận.

Chọn B.