Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị hàm số đã cho để tìm được điều kiện của \({m^3} - 3{m^2} + 4\), từ đó giải bất phương trình và tìm \(m\).

Lời giải chi tiết:

Từ đồ thị hàm số ta thấy rằng đường thẳng \(d:y = {m^3} - 3{m^2} + 4\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 4\) tại ba điểm phân biệt \( \Leftrightarrow 0 < {m^3} - 3{m^2} + 4 < 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m + 1} \right){\left( {m - 2} \right)^2} > 0\\{m^3} - 3{m^2} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - 1\\m < 3\\m \ne 0\\m \ne 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow m \in \left( { - 1;3} \right)\backslash \left\{ {0;2} \right\}\) mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ 1 \right\}\)

Vậy có một giá trị của \(m\) thỏa mãn điều kiện.

Chọn C.