Phương pháp giải:

Diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy \(R\) và đường sinh \(l\) là \(S = \pi Rl\)

Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh \(a\) là \(R = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) , tính đường sinh dựa vào định lý Pytago

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I;O\) lần lượt là tâm hình vuông \(A'B'C'D'\) và \(ABCD.\) Suy ra \(IO = AA' = a\)

Hình nón có đỉnh \(I\) , bán kính đáy \(R = OA = \dfrac{{AC}}{2}\) và  đường sinh \(l = IA\)

Xét tam giác vuông \(ABC\) có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = a\sqrt 2  \Rightarrow R = OA = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Xét tam giác vuông \(IOA\) có \(IA = \sqrt {O{I^2} + O{A^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

Diện tích xung quanh hình nón \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .OA.IA = \pi .\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2} = \dfrac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{2}\)

Chọn D.