Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\) đồng biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0;\,\forall x \in \mathbb{R}\) (\(f\left( x \right) = 0\) xảy ra tại hữu hạn điểm).

Lời giải chi tiết:

Đáp án A : Hàm số \(y = {2^{1 - 3x}}\)  có TXĐ :\(D = \mathbb{R}\) và \(y' =  - {3.2^{1 - 3x}} < 0\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\)  nên hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) (loại A)

Đáp án B : Hàm số \(y = {\log _2}\left( {x - 1} \right)\)  có TXĐ : \(D = \left( {1; + \infty } \right)\) nên loại B.

Đáp án C: Hàm số \(y = {\log _2}\left( {{2^x} + 1} \right)\)  có TXĐ : \(D = \mathbb{R}\) và \(y' = \dfrac{{{2^x}}}{{\left( {{2^x} + 1} \right)\ln 2}} > 0\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\)  nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) (chọn C)

Đáp án D : Hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right)\)  có TXĐ : \(D = \mathbb{R}\) và \(y' = \dfrac{{2x}}{{{x^2} + 1}} > 0\) với \(\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)  nên hàm số chỉ đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) (loại D)

Chọn C.