Phương pháp giải:

Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp:

- Xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

- Từ O dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng đáy

- Dựng mặt phẳng trung trực \(\left( \alpha  \right)\)của một cạnh bên nào đó

- Xác định \(I = \left( \alpha  \right) \cap d\), I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Lời giải chi tiết:

Gọi O, I lần lượt là trung điểm của AC, SC.

Ta có:

\(\Delta \)ABC vuông cân tại B \( \Rightarrow O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp và \(AC = AB.\sqrt 2  = a\sqrt 2 \).

Mà \(OI//SA,\,\,SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow OI \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow IA = IB = IC\)(1)

\(\Delta \)SAC vuông tại A, I là trung điểm của SC \( \Rightarrow IS = IC = IA\) (2)

Từ (1), (2) suy ra \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, bán kính \(R = \dfrac{{SC}}{2} = \dfrac{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }}{2} = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

Chọn: A