Phương pháp giải:

+) Tính tổng thời gian đi từ A đến B.

+) Sử dụng BĐT: \(\sqrt {{a^2} + {b^2}}  + \sqrt {{c^2} + {d^2}}  \ge \sqrt {{{\left( {a + c} \right)}^2} + {{\left( {b + d} \right)}^2}} \).

+) Sử dụng phương pháp hàm số.

Lời giải chi tiết:

Giả sử ô tô đi theo đường gấp khúc \(AMNB\) như hình vẽ bên.

Đặt \(DM = x,\,\,MN = y \Rightarrow NC = 70 - x - y\).

\( \Rightarrow AM = \sqrt {D{M^2} + A{D^2}}  = \sqrt {{x^2} + {{10}^2}} ,\,\,BN = \sqrt {B{C^2} + C{N^2}}  = \sqrt {{{10}^2} + {{\left( {70 - x - y} \right)}^2}} \)

Thời gian ô tô đi hết quãng đường \(AM:\,\,{t_1} = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + {{10}^2}} }}{{30}}\)

Thời gian ô tô đi hết quãng đường \(MN:\,\,{t_2} = \dfrac{y}{{50}}\)

Thời gian ô tô đi hết quãng đường \(NC:\,\,{t_3} = \dfrac{{\sqrt {{{10}^2} + {{\left( {70 - x - y} \right)}^2}} }}{{30}}\)

Khi đó tổng thời gian ô tô đi từ A đến B là:

\(t = {t_1} + {t_2} + {t_3} = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + {{10}^2}}  + \sqrt {{{\left( {70 - x - y} \right)}^2} + {{10}^2}} }}{{30}} + \dfrac{y}{{50}} \ge \dfrac{{\sqrt {{{\left( {70 - y} \right)}^2} + {{20}^2}} }}{{30}} + \dfrac{y}{{50}}\)

Xét hàm số \(f\left( y \right) = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {70 - y} \right)}^2} + {{20}^2}} }}{{30}} + \dfrac{y}{{50}}\,\,\left( {0 < y < 70} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( y \right) = \dfrac{{y - 70}}{{30\sqrt {{{\left( {70 - y} \right)}^2} + {{20}^2}} }} + \dfrac{1}{{50}} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{5\left( {y - 70} \right) + 3\sqrt {{{\left( {70 - y} \right)}^2} + {{20}^2}} }}{{150\sqrt {{{\left( {70 - y} \right)}^2} + {{20}^2}} }} = 0\\ \Leftrightarrow 3\sqrt {{{\left( {70 - y} \right)}^2} + {{20}^2}}  = 5\left( {70 - y} \right) \Leftrightarrow 9{\left( {70 - y} \right)^2} + {9.20^2} = 25{\left( {70 - y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 16{\left( {70 - y} \right)^2} = 3600 \Leftrightarrow {\left( {70 - y} \right)^2} = 225 \Leftrightarrow 70 - y = 15 \Leftrightarrow y = 55\end{array}\)

BBT:

Dựa vào BBT \( \Rightarrow \min f\left( y \right) = f\left( {55} \right) = \dfrac{{29}}{{15}}\)

Vậy thời gian ít nhất để nhà địa chất đến vị trí B là \(\dfrac{{29}}{{15}}\) giờ = 1 giờ 56 phút.

Chọn C.