Phương pháp giải:

Cho hình nón có đường sinh \(l\), bán kính đáy \(R\), đường cao \(h\).

Ta có \({S_{xq}} = \pi Rl,\,\,V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\).

Lời giải chi tiết:

Tam giác \(SAB\) đều có \(SO = a\sqrt 3  = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AB = 2a\)

\( \Rightarrow \) Bán kính của hình nón là \(R = \dfrac{1}{2}AB = a\).

Đường sinh của hình nón là \(l = \sqrt {{R^2} + {h^2}}  = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}}  = 2a\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{xq}} = \pi Rl = \pi .a.2a = 2\pi {a^2}\\V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {a^2}.a\sqrt 3  = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}\\ \Rightarrow \dfrac{{{S_{xq}}}}{V} = \dfrac{{2\pi {a^2}}}{{\dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}}} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{a}\end{array}\)

Chọn A.