Phương pháp giải:

Đường tròn \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {c^2}\) có tâm \(I\left( {a;b} \right)\) bán kính \(R = c\). Hai đường tròn tiếp xúc nhau \( \Leftrightarrow \) khoảng cách giữa hai tâm bằng tổng bán kính hai đường tròn.

Lời giải chi tiết:

Ta thấy đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( { - 1; - 2} \right)\) bán kính \({R_1} = 3\)

Đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\left( {2;2} \right)\) bán kính \({R_2} = 2\)

Khi đó: \(5 = {R_1} + {R_2} = {I_1}{I_2} = \sqrt {{{\left( {2 + 1} \right)}^2} + {{\left( {2 + 2} \right)}^2}}  = 5\)

\( \Rightarrow \left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) tiếp xúc nhau.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Gọi \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {a,b} \right) \ne \overrightarrow 0 \) là VTPT của đường thẳng \(d\) cần tìm.

Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai VTPT (VTCP)

Giải phương trình tìm tỉ số \(\frac{a}{b}\) từ đó suy ra phương trình của \(\left( d \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {{I_1}{I_2}}  = \left( {3;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}}  = \left( { - 4;3} \right)\) là một VTPT của đường thẳng \({I_1}{I_2}\) 

Gọi \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {a;\,b} \right) \ne \overrightarrow 0 \) là VTPT của đường thẳng \(d\) cần tìm

\( \Rightarrow d:\,\,ax + by = 0.\)

Ta có: \(\cos \left( {{I_1}{I_2},d} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \cos {45^o} = \frac{{\left| { - 4a + 3b} \right|}}{{5\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

\( \Leftrightarrow 25\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 2{\left( { - 4a + 3b} \right)^2} \Leftrightarrow 7{a^2} - 48ab - 7{b^2} = 0\)

Với \(b = 0 \Rightarrow a = 0\)   (ktm)

Với \(b \ne 0\), chia cả hai vế cho \({b^2}\) ta được:

\(7{\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} - 48.\frac{a}{b} - 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{a}{b} = 7 \Rightarrow \left( {a;b} \right) = \left( {7;1} \right) \Rightarrow 7x + y = 0\\\frac{a}{b} =  - \frac{1}{7} \Rightarrow \left( {a;b} \right) = \left( { - 1;7} \right) \Rightarrow  - x + 7y = 0\end{array} \right.\)

Vậy có hai đường thẳng d thỏa mãn bài toán: \(7x + y = 0\) và \( - x + 7y = 0.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

\(\left[ \begin{array}{l}\left( {{C_1}} \right):\,\,\,\,{\left( {x - \frac{{71}}{{25}}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{{22}}{{25}}} \right)^2} = 4\\\left( {{C_2}} \right):\,\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(16{x^2} + 49{y^2} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {\frac{1}{7}} \right)}^2}}} = 1\)

\( \Rightarrow \) Độ dài trục lớn của \(\left( E \right)\) là \(2a = 2.\frac{1}{4} = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \) Bán kính của đường tròn \(\left( C \right)\) cần lập là \(R = 1\)

Xét \(\Delta I{I_1}{I_2}\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{I_1}{I_2} = 5\\I{I_1} = {R_1} + R = 4\\I{I_2} = {R_2} + R = 3\end{array} \right. \Rightarrow \) \(\Delta I{I_1}{I_2}\) vuông tại I

Gọi \(I\left( {a;b} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {I{I_1}} .\overrightarrow {I{I_2}}  = 0\\I{I_2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a - 2} \right)\left( {a + 1} \right) + \left( {b - 2} \right)\left( {b + 2} \right) = 0\\{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} - a - 6 = 0\\{a^2} + {b^2} - 4a - 4b - 1 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a + 4b = 5\\{a^2} + {b^2} - a - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{{5 - 3a}}{4}\\25{a^2} - 46a - 71 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{{5 - 3a}}{4}\\\left[ \begin{array}{l}a = \frac{{71}}{{25}}\\a =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}I\left( {\frac{{71}}{{25}}; - \frac{{22}}{{25}}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,(tm)\\I\left( { - 1;2} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(tm)\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đường tròn thỏa mãn bài toán:  \(\left[ \begin{array}{l}\left( {{C_1}} \right):\,\,\,\,{\left( {x - \frac{{71}}{{25}}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{{22}}{{25}}} \right)^2} = 1\\\left( {{C_2}} \right):\,\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1\end{array} \right..\)

Chọn B.