Phương pháp giải:

+) Đặt \(t = {x^3} - 3x,\,\,x \in \left[ {1;2} \right]\), tìm khoảng giá trị của \(t\).

+) Biện luận số nghiệm của phương trình \(f\left( t \right) = m\) dựa vào đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = {x^3} - 3x,\,\,x \in \left[ {1;2} \right]\) ta có \(t'\left( x \right) = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\)

BBT:

\( \Rightarrow t \in \left[ { - 2;2} \right]\).

Ứng với \(t = 2\) có 1 giá trị \(x \in \left[ { - 1;2} \right]\).

Ứng với \(t \in \left( { - 2;2} \right]\)  có 2 giá trị \(x \in \left[ { - 1;2} \right]\).

Phương trình \(f\left( {{x^3} - 3x} \right) = m\) có 6 nghiệm thuộc \(\left[ { - 1;2} \right]\) khi và chỉ khi phương trình \(f\left( t \right) = m\) có 3 nghiệm phân biệt thuộc \(\left( { - 2;2} \right]\).

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta có: Phương trình \(f\left( t \right) = m\) có 3 nghiệm phân biệt thuộc \(\left( { - 2;2} \right]\) khi và chỉ khi \(m = 0,\,\,m =  - 1\,\,\left( {Do\,\,m \in \mathbb{Z}} \right)\).

Chọn B.