Phương pháp giải:

Cách 1:

+) Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;\;b} \right]\) bằng cách:

+) Giải phương trình \(y' = 0\) tìm các nghiệm \({x_i}.\)

+) Tính các giá trị \(f\left( a \right),\;f\left( b \right),\;\;f\left( {{x_i}} \right)\;\;\left( {{x_i} \in \left[ {a;\;b} \right]} \right).\)  Khi đó:

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\},\;\;\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\}.\) 

Cách 2: Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên \(\left[ {a;\;b} \right].\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = 1 - \frac{9}{{{x^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{9}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\,\, \in \left[ {1;\,4} \right]\\x =  - 3 \notin \left[ {1;\,4} \right]\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 10\\f\left( 3 \right) = 6\\f\left( 4 \right) = \frac{{25}}{4}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M = 10\\m = 6\end{array} \right. \Rightarrow M + m = 16.\)

Chọn B.