Phương pháp giải:

Ta có: \(x = {x_0}\) là điểm cực đại của hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow \) tại điểm \(x = {x_0}\) thì hàm số có \(y'\)  đổi dấu từ âm sang dương.

Lời giải chi tiết:

Dựa vào BBT ta thấy hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực đại tại \(x =  - 1,\,\,x = 2.\)

Ta có: \(y = f\left( {2x} \right) \Rightarrow y' = 2f'\left( {2x} \right) \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow f'\left( {2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 0\\2x =  - 1\\2x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - \frac{1}{2}\\x = 1\end{array} \right.\)

Dựa theo tính đơn điệu của hàm số \(y = f\left( x \right) \Rightarrow \) hàm số \(y = f\left( {2x} \right)\) đạt cực đại \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x =  - 1\\2x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{2}\\x = 1\end{array} \right..\)

Chọn  C.