Phương pháp giải:

* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\).

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) =  + \infty \,\)hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) =  - \infty \,\)hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) =  + \infty \,\)hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) =  - \infty \,\)thì \(x = a\)  là TCĐ của đồ thị hàm số.

* Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\).

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = a\,\)hoặc\(\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = a \Rightarrow y = a\) là TCN của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

TXĐ:\(D = \left( {1; + \infty } \right)\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^3} - 1} }} =  + \infty \, \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có 1 TCĐ là \(x = 1\)

 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^3} - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\dfrac{1}{{\sqrt x }} + \dfrac{1}{{x\sqrt x }}}}{{\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{x^3}}}} }} = 0 \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có 1 TCN là \(y = 0\).

Chọn: D