Phương pháp giải:

Tiếp tuyến tại M của \(\left( C \right)\) cắt hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\) tại hai điểm A, B \( \Rightarrow \) M là trung điểm của AB và bán kính đường tròn ngoại tiếp IAB bằng \(\dfrac{{AB}}{2} = MA = MB = MI\).

Lời giải chi tiết:

Đồ thị là \(\left( C \right)\) của hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 2}}\) có hai đường tiệm cận là \(x = 2\,\,\left( {{d_1}} \right),\,\,y = 1\,\,\left( {{d_2}} \right)\). Tọa độ điểm \(I\left( {2;1} \right)\).

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm, \(M \in \left( C \right)\).

Ta có \(y' = \dfrac{{ - 2.1 - 1.2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall x \ne 2\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là: \(y = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} - 2}}\) (d).

Gọi \(A = \left( d \right) \cap \left( {{d_1}} \right)\).

\(\begin{array}{l}Cho\,\,x = 2 \Rightarrow y = \dfrac{{ - 4\left( {2 - {x_0}} \right)}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}} + \dfrac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} - 2}} = \dfrac{4}{{{x_0} - 2}} + \dfrac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} - 2}} = \dfrac{{{x_0} + 6}}{{{x_0} - 2}}\\ \Rightarrow A\left( {2;\dfrac{{{x_0} + 6}}{{{x_0} - 2}}} \right)\end{array}\)

Gọi \(B = \left( d \right) \cap \left( {{d_2}} \right)\)

\(\begin{array}{l}Cho\,\,y = 1 \Rightarrow 1 = \dfrac{{ - 4\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^2 - 4}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}} \Leftrightarrow  - 4\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^2 - 4 = {\left( {{x_0} - 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow  - 4\left( {x - {x_0}} \right) =  - 4{x_0} + 8 \Leftrightarrow x - {x_0} = {x_0} - 2 \Leftrightarrow x = 2{x_0} - 2\\ \Rightarrow B\left( {2{x_0} - 2;1} \right)\end{array}\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2{x_0} = 2{x_M}\\{y_A} + {y_B} = \dfrac{{{x_0} + 6}}{{{x_0} - 2}} + 1 = \dfrac{{2{x_0} + 4}}{{{x_0} - 2}} = 2{y_M}\end{array} \right.\)

Suy ra \(M\) là trung điểm của AB.

Tam giác IAB vuông tại I \( \Rightarrow \)Bán kính đường tròn ngoại tiếp IAB bằng \(R = IM\)

Chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB là: \(C = 2\pi R\), chu vi đạt GTNN khi và chỉ khi  \(MI\) ngắn nhất

Ta có:

\(\begin{array}{l}R = MI = \sqrt {{{\left( {2 - {x_0}} \right)}^2} + {{\left( {1 - {y_0}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {2 - {x_0}} \right)}^2} + {{\left( {1 - \dfrac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} - 2}}} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2} + \dfrac{{16}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}}}  \ge \sqrt {2\sqrt {16} }  = 2\sqrt 2 \end{array}\)

\(M{I_{\min }} = 2\sqrt 2 \) khi và chỉ khi \({\left( {{x_0} - 2} \right)^2} = \dfrac{{16}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} - 2 = 2\\{x_0} - 2 =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 4\\{x_0} =  0\end{array} \right.\)

Giá trị nhỏ nhất của chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB là: \(2\pi .2\sqrt 2  = \)\(4\sqrt 2 \pi \).

Chọn: C