Lời giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của \(SA\).

Tam giác \(SAB,\,\,SAC\) vuông tại \(B,C \Rightarrow IS = IA = IB = IC \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\). Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A \Rightarrow H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

\( \Rightarrow IH \bot \left( {ABC} \right)\).

Gọi \(R\) là bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\). Theo bài ra ta có: \(\dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{{5\sqrt 5 \pi }}{6} \Leftrightarrow {R^3} = \dfrac{{5\sqrt 5 }}{8} = \dfrac{{\sqrt {125} }}{8} \Leftrightarrow R = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\)

\( \Rightarrow IS = IA = IB = IC = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\).

Xét tam giác vuông \(ABC\) có: \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = 2 \Rightarrow AH = 1\).

Xét tam giác vuông \(IAH\) có \(IH = \sqrt {I{A^2} - A{H^2}}  = \sqrt {\dfrac{5}{4} - 1}  = \dfrac{1}{2}\).

\(\begin{array}{l}{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}.1.\sqrt 3  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow {V_{I.ABC}} = \dfrac{1}{3}IH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{12}}\end{array}\)

Ta có: \(SI \cap \left( {ABC} \right) = A \Rightarrow \dfrac{{d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right)}}{{d\left( {I;\left( {ABC} \right)} \right)}} = \dfrac{{SA}}{{IA}} = 2\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.ABC}}}}{{{V_{S.IBC}}}} = 2 \Rightarrow {V_{S.ABC}} = 2{V_{I.ABC}} = 2.\dfrac{{\sqrt 3 }}{{12}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}\).

Xét tam giác vuông \(SAB\) cps \(IB = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow SA = 2IB = \sqrt 5  \Rightarrow SB = \sqrt {S{A^2} - A{B^2}}  = 2\).

\( \Rightarrow {S_{\Delta SAB}} = \dfrac{1}{2}.1.2 = 1\).

Ta có \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right).{S_{\Delta SAB}} \Rightarrow d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{\Delta SAB}}}} = \dfrac{{3.\dfrac{{\sqrt 3 }}{6}}}{1} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Chọn A.