Phương pháp giải:

Tìm GTLN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;\;b} \right]\) bằng cách:

+) Giải phương trình \(y' = 0\) tìm các nghiệm \({x_i}.\)

+) Tính các giá trị \(f\left( a \right),\;f\left( b \right),\;\;f\left( {{x_i}} \right)\;\;\left( {{x_i} \in \left[ {a;\;b} \right]} \right).\) 

+) Khi đó: \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\};\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\}.\) 

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{{x + 3}}\) xác định trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\).

Ta có :

\(f'\left( x \right) = \frac{{1.3 - 0.1}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} > 0,\,\,\forall \,x \in \left[ { - 2;3} \right] \Rightarrow \) Hàm số luôn đồng biến trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\)

\( \Rightarrow GTLN\) của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{{x + 3}}\) trên đoạn \(\left[ { - 2;3} \right]\)là: \(f\left( 3 \right) = \frac{3}{{3 + 3}} = \frac{1}{2}\)

Chọn B.