Phương pháp giải:

Tìm \(a\) để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}}&{{\rm{khi}}}&{x \ne 1}\\a&{{\rm{khi}}}&{x = 1}\end{array}} \right.\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

Lời giải chi tiết:

 Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại  \(x = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = a\)

\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = a \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x - 1}}a \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right) = a \Leftrightarrow 2 = a\)  

Chọn C.