Phương pháp giải:

Nhận xét: \(\left| {\sin \left( {\sqrt x  + \sqrt {2x} } \right)} \right| \le 1\).

Lời giải chi tiết:

Vì  \( - 1 \le \sin \left( {\sqrt x  + \sqrt {2x} } \right) \le 1 \Rightarrow  - \frac{{\sqrt x  + \sqrt {2x} }}{x} \le \frac{{\sqrt x  + \sqrt {2x} }}{x}\sin \left( {\sqrt x  + \sqrt {2x} } \right) \le \frac{{\sqrt x  + \sqrt {2x} }}{x}\;\;\forall x \ge 0.\) 

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - \frac{{\sqrt x  + \sqrt {2x} }}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - \frac{{\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt x }}}}{1}} \right) = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt x  + \sqrt {2x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt x }}}}{1} = 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\frac{{\sqrt x  + \sqrt {2x} }}{x}\sin \left( {\sqrt x  + \sqrt {2x} } \right)} \right] = 0.\)

Chọn D.