Phương pháp giải:

+ Tính tổng số tiền làm hộp

+ Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số \(a,b,c\) không âm \(a + b +  \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\)  để tìm giá thánh thấp nhất.

Dấu = xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi chiều rộng của nắp hộp là \(x\)  và giá thành 1 đơn vị diện tích làm nắp hộp là \(a\) (cố định).

Khi đó giá thành làm 1 đơn vị diện tích mặt bên là \(3a.\)

Chiều dài nắp hộp là \(2x\) nên thể tích hình hộp chữ nhật là \(V = x.2x.h = 48 \Leftrightarrow h = \dfrac{{24}}{{{x^2}}}\)

Số tiền làm  nắp hộp là \(x.2x.a = 2{x^2}.a\)

Số tiền lằm làm mặt bên và đáy là \(3a\left( {2.x.h + 2.2x.h + 2x.x} \right) = 3a\left( {6xh + 2{x^2}} \right)\)

Tổng số tiền làm hộp là \(M = 3a\left( {6xh + 2{x^2}} \right) + 2{x^2}.a = 18a.x.h + 8{x^2}.a = 18a.x.\dfrac{{24}}{{{x^2}}} + 8{x^2}.a\) (vì \(h = \dfrac{{24}}{{{x^2}}}\))

Nên \(M = 8a\left( {\dfrac{{54}}{{{x^2}}} + {x^2}} \right) = 8a\left( {\dfrac{{27}}{x} + \dfrac{{27}}{x} + {x^2}} \right)\mathop  \ge \limits^{Co  - si} 8a.3.\sqrt[3]{{\dfrac{{27}}{x}.\dfrac{{27}}{x}.{x^2}}} = 216a.\)

Dấu = xảy ra khi \(\dfrac{{27}}{x} = {x^2} \Rightarrow {x^3} = 27 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow h = \dfrac{{24}}{{{x^2}}} = \dfrac{{24}}{9} = \dfrac{8}{3}.\)

Vậy \({M_{\min }} = 216a \Leftrightarrow h = \dfrac{8}{3}\) nên \(m = 8;n = 3 \Rightarrow m + n = 8 + 3 = 11.\)

Chọn C.