Phương pháp giải:

- Xác định góc \({60^0}\): góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng mà cùng vuông góc với giao tuyến.

- Tính chiều cao khối trụ và suy ra thể tích \(V = \pi {R^2}h\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) thì \(O'I \bot AB,OI \bot AB\).

Suy ra góc giữa \(\left( {O'AB} \right)\) và \(\left( {O;R} \right)\) là góc giữa \(O'I\) và \(OI\) hay \(\widehat {O'IO} = {60^0}\).

Đặt \(AI = x \Rightarrow AB = 2x\).

Tam giác vuông \(OIA\) có \(OA = R,AI = x\) \( \Rightarrow OI = \sqrt {O{A^2} - A{I^2}}  = \sqrt {{R^2} - {x^2}} \).

Tam giác \(O'AB\) đều cạnh \(AB = 2x \Rightarrow O'I = \dfrac{{2x\sqrt 3 }}{2} = x\sqrt 3 \).

Tam giác \(O'OI\) vuông tại \(O\) nên \(\cos {60^0} = \dfrac{{OI}}{{O'I}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{{\sqrt {{R^2} - {x^2}} }}{{x\sqrt 3 }} \Leftrightarrow x = \dfrac{{2R}}{{\sqrt 7 }}\).

Suy ra \(OO' = O'I.\sin {60^0} = \dfrac{{2R}}{{\sqrt 7 }}.\sqrt 3 .\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3R}}{{\sqrt 7 }}\).

Thể tích khối trụ \(V = \pi {R^2}h = \pi {R^2}.\dfrac{{3R}}{{\sqrt 7 }} = \dfrac{{3\pi \sqrt 7 {R^3}}}{7}\).

Chọn D.