Phương pháp giải:

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\).

+) Nếu \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,y={{y}_{0}}\Rightarrow y={{y}_{0}}\) là TCN của đồ thị hàm số.

+) Nếu \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,y={{x}_{0}}\Rightarrow x={{x}_{0}}\) là TCĐ của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ : \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 \ge 0\\x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le  - 1\end{array} \right.\\x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\).

\(\Rightarrow \) TXĐ: \(D=\left( -\infty ;-1 \right]\cup \left[ 1;+\infty  \right)\). Do đó đồ thị hàm số không có TCĐ.

Ta có :

\(\begin{align}  & \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2\sqrt{{{x}^{2}}-1}+1}{x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2\sqrt{1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}+\dfrac{1}{x}}{1}=2 \\  & \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{2\sqrt{{{x}^{2}}-1}+1}{x}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{-2\sqrt{1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}+\dfrac{1}{x}}{1}=-2 \\ \end{align}\)

Vậy đồ thị hàm số có 2 TCN là \(y=\pm 2\).

Chọn C.