Phương pháp giải:

Nhân liên hợp để khử dạng  \(\frac{0}{0}\)  rồi tính giới hạn của biểu thức: \(\begin{array}{l}\frac{{\sqrt[3]{{1 + 4x}} - 1}}{x} = \frac{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 4x}} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {1 + 4x} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + 4x}} + 1} \right)}}{{x\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {1 + 4x} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + 4x}} + 1} \right)}} = \frac{{1 + 4x - 1}}{{x\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {1 + 4x} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + 4x}} + 1} \right)}}\\ = \frac{{4x}}{{x\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {1 + 4x} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + 4x}} + 1} \right)}} = \frac{4}{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 + 4x} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + 4x}} + 1}}.\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có :

 \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sqrt[3]{{1 + 4x}} - 1}}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt[3]{{1 + 4x}} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {1 + 4x} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + 4x}} + 1} \right)}}{{x\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {1 + 4x} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + 4x}} + 1} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4x}}{{x\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {1 + 4x} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + 4x}} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{4}{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 + 4x} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + 4x}} + 1}} = \frac{4}{3}.\end{array}\)

Chọn D.