Phương pháp giải:

Hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại điểm $x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D = \mathbb{R}$. Ta có:

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right) = 2\\f\left( 1 \right) = m - 2\end{array}$

Hàm số liên tục trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow$ Hàm số liên tục tại $x = 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$.

$\Leftrightarrow m - 2 = 2 \Leftrightarrow m = 4$.

Chọn A.