Phương pháp giải:

Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = c\) có tâm \(I\left( {a;b} \right)\), bán kính \(R = \sqrt c \)

Đường thẳng \(ax + by + c = 0\) song song với đường thẳng \(a'x + b'y + c' \Leftrightarrow \frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} \ne \frac{c}{{c'}}\)

Cho đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) và điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Rightarrow {d_{\left( {{M_0};\Delta } \right)}} = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\)

Lời giải chi tiết:

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn \((C):{(x - 1)^2} + {(y - 4)^2} = 4\). Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn \((C)\) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng \(\Delta :4x - 3y + 2 = 0.\)

Đường tròn \((C):{(x - 1)^2} + {(y - 4)^2} = 4\) có tâm \(I\left( {1;4} \right)\), bán kính \(R = 2\).

Gọi d là tiếp tuyến cần tìm, dó d song song với \(\Delta :4x - 3y + 2 = 0 \Rightarrow \) d  có dạng \(4x - 3y + m = 0\,\,\,\left( {m \ne 2} \right)\)

d là tiếp tuyến với đường tròn \((C) \Leftrightarrow {d_{\left( {I;d} \right)}} = R = 2\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {4 - 12 + m} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = 2 \Leftrightarrow \left| {m - 8} \right| = 10 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 2\,\,\,\,\,(tm)\\m = 18\,\,\,\,\,\,\,(tm)\end{array} \right.\)

Với \(m =  - 2 \Rightarrow d:4x - 3y - 2 = 0\)

Với \(m = 18 \Rightarrow d:4x - 3y + 18 = 0\)

Vậy đường thẳng \(4x - 3y - 2 = 0\) và đường thẳng \(4x - 3y + 18 = 0\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn A.