Phương pháp giải:

Tìm mối quan hệ giữa đường thẳng (AB) và đường thẳng (d) từ đó tính độ dài IA, IB để tính tỉ số.

Cho đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) và điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Rightarrow {d_{\left( {{M_0};\Delta } \right)}} = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\) 

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4; - 2} \right) = 2\left( {2;\, - 1} \right)\); đường thẳng (d) có VTCP là \(\overrightarrow u  = \left( {1;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow u .\) 

\( \Rightarrow \) Đường thẳng (AB) vuông góc với đường thẳng (d)

Đường thẳng AB cắt d tại I \( \Rightarrow \) IA, IB lần lượt là khoảng cách từ A và B đến đường thẳng d

\( \Rightarrow IA = d\left( {A;\,\,d} \right) = \frac{{\left| { - 6 - 5 - 1} \right|}}{{\sqrt {4 + 1} }} = \frac{{12}}{{\sqrt 5 }}\,\,;\,\,IB = d\left( {B;\,d} \right) = \frac{{\left| {2 - 3 - 1} \right|}}{{\sqrt {4 + 1} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow \frac{{IA}}{{IB}} = 6.\) 

Chọn A.