Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\)  đồng biến trên \(\left( {a;\;b} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0\;\;\forall x \in \left( {a;\;b} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Bảng xét dấu \(f'\left( x \right)\) :

Ta có: \(y = f\left( {{x^2} + 3x - m} \right) = g\left( x \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = \left( {2x + 3} \right)f'\left( {{x^2} + 3x - m} \right)\)

Để hàm số \(y = g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0;2} \right) \Rightarrow g'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

Trên \(\left( {0;2} \right)\) ta có \(2x + 3 > 0\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right) \Rightarrow g'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right) \Leftrightarrow f'\left( {{x^2} + 3x - m} \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 3x + m \ge 1\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} + 3x + m \le  - 3\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow h\left( x \right) = {x^2} + 3x - 1 \ge  - m\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right) \Leftrightarrow  - m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} h\left( x \right)\)

Ta có \(h'\left( x \right) = 2x + 3 > 0\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right) \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên

\(\left( {0;2} \right) \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} h\left( x \right) = h\left( 0 \right) =  - 1 \Leftrightarrow  - m \le  - 1 \Leftrightarrow m \ge 1\)

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow k\left( x \right) = {x^2} + 3x + 3 \le  - m\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right) \Leftrightarrow  - m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} k\left( x \right)\)

Ta có \(k'\left( x \right) = 2x + 3 > 0\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right) \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên

\(\left( {0;2} \right) \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} k\left( x \right) = k\left( 2 \right) = 13 \Leftrightarrow  - m \ge 13 \Leftrightarrow m \le  - 13\).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \le  - 13\end{array} \right.\). Kết hợp điều kiện đề bài \( \Leftrightarrow 1 \le m \le 20 \Rightarrow \) Có 20 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. 

Chọn D.