Phương pháp giải:

Diện tích xung quanh của hình nón: \({S_{xq}} = \pi rl\)

Diện tích toàn phần của hình nón: \({S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}\)

Lời giải chi tiết:

Miếng tôn hình tròn có diện tích: \(\pi {.70^2} = 4900\pi \left( {c{m^2}} \right)\)

Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình nón lần lượt là \(r,\;h\;\;\left( {r,\;h > 0} \right).\)

Khi đó ta có: \(SA = \sqrt {{r^2} + {h^2}} .\)

\( \Rightarrow \) Diện tích toàn phần của hình nón là: \({S_{tp}} = \pi {r^2} + \pi r\sqrt {{r^2} + {h^2}} .\)

Theo đề bài ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\pi {r^2} + \pi r\sqrt {{r^2} + {h^2}}  = 4900\pi  \Leftrightarrow r\sqrt {{r^2} + {h^2}}  = 4900 - {r^2}\\ \Leftrightarrow {r^2}\left( {{r^2} + {h^2}} \right) = {4900^2} - 2.4900{r^2} + {r^4} \Leftrightarrow {r^2} = \frac{{{{4900}^2}}}{{{h^2} + 9800}}\end{array}\)

Thể tích của khối nón là: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi .\frac{{{{4900}^2}}}{{{h^2} + 9800}}.h = \frac{{{{4900}^2}\pi }}{3}.\frac{h}{{{h^2} + 9800}}\)

 \( \Rightarrow V\) đạt Max \( \Leftrightarrow f'\left( h \right) = \frac{{{h^2} + 9800}}{h}\)  đạt Min.

Ta có: \(f'\left( h \right) = \frac{{2{h^2} - {h^2} - 9800}}{{{h^2}}} = \frac{{{h^2} - 9800}}{{{h^2}}}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( h \right) = 0 \Leftrightarrow {h^2} = 9800 \Leftrightarrow h = 70\sqrt 2 \;cm.\\ \Rightarrow {r^2} = \frac{{{{4900}^2}}}{{{h^2} + 9800}} = \frac{{{{4900}^2}}}{{9800.2}} = 1225\;cm\\ \Rightarrow r = \sqrt {1225}  = 35\;cm.\end{array}\)

Vậy, hình nón có bán kính đáy là: \(35cm\).

Chọn: D