Phương pháp giải:

Đưa biểu thức \(P\) về hàm số 1 ẩn \(x.\)

Khảo sát, tìm GTNN của hàm số đó.

Lời giải chi tiết:

\(x,\,y\) là hai số không âm thỏa mãn \(x + y = 2 \Rightarrow y = 2 - x,\,\,\left( {0 \le x \le 2} \right)\)

Khi đó:  \(P = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + {y^2} - x + 1 = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + {\left( {2 - x} \right)^2} - x + 1 = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} - 5x + 5\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} - 5x + 5,\,\,x \in \left[ {0;2} \right]\) có: \(f'\left( x \right) = {x^2} + 4x - 5\, \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\;\;\left( {tm} \right)\\x =  - 5\,\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\), có  \(f\left( 0 \right) = 5,\,f\left( 1 \right) = \frac{7}{3},\,f\left( 2 \right) = \frac{{17}}{3} \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = \frac{7}{3}\)

\( \Rightarrow \min P = \frac{7}{3}\).

Chọn: C