Câu hỏi
Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau, AB = 6a, AC = 5a, AD = 4a. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CD, DB. Thể tích V của tứ diện AMNP là:
- A \(V = \frac{{5{a^3}}}{3}\).
- B \(V = \frac{{20{a^3}}}{3}\).
- C \(V = 5{a^3}\).
- D \(V = 10{a^3}\).
Phương pháp giải:
Thể tích khối tứ diện \(OABC\) có \(OA,\;OB,\;OC\) đôi một vuông góc và có độ dài các cạnh đó lần lượt là \(a,\,b,\,c\) là: \(V = \frac{1}{6}abc\)
Lời giải chi tiết:
Thể tích khối tứ diện \(ABCD\) là: \({V_{ABCD}} = \frac{1}{6}AB.AC.AD = \frac{1}{6}.6a.5a.4a = 20{a^3}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{{V_{A.MNP}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{{\frac{1}{3}.{S_{\Delta MNP}}.{d_{\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right)}}}}{{\frac{1}{3}.{S_{\Delta BCD}}.{d_{\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right)}}}} = \frac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta BCD}}}} = \frac{1}{4}\;\;\left( {do\;\;{S_{\Delta DNP}} = {S_{\Delta MNC}} = {S_{\Delta BPM}} = \frac{1}{4}{S_{\Delta BCD}}} \right)\\ \Rightarrow {V_{A.MNP}} = \frac{1}{4}{V_{ABCD}} = \frac{1}{4}.20{a^3} = 5{a^3}.\end{array}\)
Chọn: C
Câu hỏi trước
