Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị và sử dụng công thức \(\int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx}  = \left. {f\left( x \right)} \right|_a^b = f\left( b \right) - f\left( a \right)\)  từ đó tìm ra mối quan hệ giữa các hệ số.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(f'\left( x \right) = 4a{x^3} + 3b{x^2} + 2cx + d\)

Từ đồ thị hàm \(f'\left( x \right)\) ta có \(f'\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow d = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \,f'\left( x \right) =  - \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \,f'\left( x \right) =  + \infty  \Rightarrow a < 0\)

Ta xét \(\int\limits_{ - 1}^0 {f'\left( x \right)dx = \left. {f\left( x \right)} \right|_{ - 1}^0 = e - \left( {a - b + c - d + e} \right) =  - a + b - c + d} \) , mà

\(\int\limits_{ - 1}^0 {f'\left( x \right)dx < 0 \Rightarrow  - a + b - c + d < 0}  \Leftrightarrow a + c > b + d\)  nên C sai.

Lại có \(d = 0 \Rightarrow a + c > b \Leftrightarrow a > b - c\) mà  \(a < 0 \Rightarrow b - c < 0\) do đó \(d + b - c < 0\) nên D sai.

Lại xét  mà \(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)dx > 0}  \Rightarrow a + b + c + d > 0\) nên B sai.

Theo trên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c + d > 0\\ - a + b - c + d < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a - b - c - d < 0\\ - a + b - c + d < 0\end{array} \right. \Rightarrow  - 2\left( {a + c} \right) < 0 \Leftrightarrow a + c > 0\) nên A đúng.

Chọn A.