Phương pháp giải:

+) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\).

+) Cô lập \(m\), đưa bất phương trình về dạng \(m \le g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right) \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {2; + \infty } \right)} g\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x + 2m - 1 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\).

\( \Rightarrow 3{x^2} - 6x + 2m - 1 \ge 0\,\,\forall x \in y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow g\left( x \right) = 3{x^2} - 6x \ge  - 2m + 1\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow  - 2m + 1 \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {2; + \infty } \right)} g\left( x \right)\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = 3{x^2} - 6x\) ta có \(g'\left( x \right) = 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

BBT:

\( \Rightarrow  - 2m + 1 \le 0 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{1}{2}\).

Chọn C.